Prośba o sprawdzenie - równanie różniczkowe drugiego stopnia Pastuszek: Proszę o sprawdzenie rozwiązania następującego równania różniczkowego liniowego II rzędu: Metoda przewidywań. y'' − 4y' + 4y = 8x² + e^2x 1) Rozwiązuje równanie jednorodne: y'' − 4y' + 4y = 0 r² − 4r + 4 = 0 (r − 2)² = 0 r = 2 UF = { e^2x, xe^2x } y_o(x) = C₁*e^2x + C₂*xe^2x − całka ogólna równania jednorodnego 2) f(x) = 8x² + e^2x f₁(x) = 8x² α = 0, β=0, α+iβ = 0 0 nie jest pierwiastkiem równania charakterystycznego stopień wielomianu: 2 Przewidujemy: φ₁(x) = Ax² + Bx + C φ₁'(x) = 2Ax + b φ₁''(x) = 2A Podstawiam do równania: 2A − 8Ax − 4B + 4Ax² + 4Bx + 4C = 8x² 4A = 8 & 4B − 8A = 0 & 2A − 4B + 4C = 0 A = 2, B = 4, C = 3 stąd φ₁(x) = 2x² + 4x + 3 f₂(x) = e^2x α = 2, β = 0, α+iβ = 2 2 jest dwukrotnym pierwiastkiem równania charakterystycznego Zatem przewidujemy: φ₂(x) = Ae^2x*x² φ₂'(x) = 2Ae^2x*x² + 2xA*e^2x φ₂''(x) = 4Ae^2x*x² + 4Ae^2x*x + 2Ae^2x + 4Ae^2x*x Podstawiam do równania: 4x²*Ae^2x + 4x*Ae^2x + 2Ae^2x + 4x*Ae^2x −8xA*e^2x − 8x²*Ae^2x + 4Ae^2x= e^2x

	1
wychodzi A =
	2

	1
φ2(x) =		e2x*x2
	2

	1
Całka szczególna równania niejednorodnego to: ys(x) = 2x2 + 4x + 3 +		e2x*x2
	2

	1
Wynik to y(x) = C1*e2x + C2*xe2x + 2x2 + 4x + 3 +		e2x*x2
	2

Proszę kogoś obeznanego w tych tematach o opinię co do mojego rozwiązania. Mogłem się gdzieś pomylić pod koniec przy spisywaniu tego wszystkiego i wyliczaniu choć patrzyłem 2 razy. Szczególnie nie jestem pewien czy dobrze rozumuję przy tym φ₂(x) − tam α + iβ jest pierwiastkiem i nie wiem czy dobrze przewiduję

Pastuszek: nikt nie wie

kerajs: OK