prosze o pomoc ;)) wiielomianki buuuuu178: Dany jest wielomian W(x)=x3−kx+3k−27 , k nalezy do R. Wyznacz k, tak aby wielomian mial 3 rozne pierwiastki
13 cze 11:24
Anna: piszę
13 cze 12:21
Anna: Spośród dzielników wyrazu wolnego wybieram x=3. W(3) = 27−3k+3k−27=0 Czyli x1= 3. Dzielimy dany wielomian przez dwumian (x−3) , można sposobem Hornera: 1 0 −k 3k−27 −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− 3 1 3 9−k 0 Czyli wynik dzielenia to: x2+3x+9−k = 0 Pozostałe 2 pierwiastki muszą być różne, zatem musi być Δ>0. Δ=9−4(9−k) > 0 9−36+4k > 0 4k > 27 /:4
 3 
k > 6

 4 
 3 
Odp. k∊(6

, )
 4 
13 cze 12:29
buuuuu178: pomoglo, dzieki
13 cze 12:49
Vax: Anna, zapomniałaś o przypadku kiedy jakiś pierwiastek trójmianu jest równy 3, zajdzie to dla k=27, które powinniśmy w końcowym wyniku odrzucić. Pozdrawiam.
13 cze 13:09
ICSP: Witam Vaxemotka Zarzucisz jakiś prosty przypadek wielomianu IV stopnia z czterema pierwiastkami rzeczywistymi? Tylko jakiś prosty
13 cze 13:10
Vax: Nie tak łatwo wymyślać przykłady, które by się fajnie liczyło Ale udało mi się taki wykombinować: x4+8 x3+13 x2−14 x−8 = 0 Powodzenia, jakbyś miał jakieś pytania pisz, postaram się co jakiś czas tu zaglądać i jakby co odpisywać emotka
13 cze 13:18
Vax: Trzymaj jeszcze jeden przykład, którego standardowymi metodami ciężko by było rozłożyć, bo nie ma wymiernych pierwiastków: x4+6 x3+3 x2−14 x−3
13 cze 13:31
ICSP: Dziękujęemotka Zajmę się tymi przykładami dzisiaj
13 cze 13:57
ICSP: No to spróbujmy pierwszyemotka x4 + 8x3 + 13x2 − 14x − 8 = 0 x4 + 8x3 = −13x2 +14x + 8 x4 + 8x3 + 16x2 = 16x2 − 13x2 + 14x + 8 (x2 + 4x) = 3x2 +14x + 8 (x2 + 4x + y) = 3x2 + 14x + 8 + a a = (x2 + 4x + y)2 − (x2 + 4x)2 = (x2 + 4x + y − x2 − 4x)(x2 + 4x + y + x2 + 4x) = y(2x2 + 8x + y) = 2x2y + 8xy + y2 (x2 + 4x + y)2 = 3x2 + 14x + 8 + 2x2y + 8xy + y2 (x2 + 4x + y)2 = 3x2 + 2x2y + 14x + 8xy + 8 + y2 (x2 + 4x + y)2 = (3+2y)x2 + (14+8y)x + (8+y2) i teraz jeśli dobrze zrozumiałem wyrażenie po prawej stronie musimy doprowadzić do pewnego kwadratu aby po przeniesieniu tego wyrażenia na drugą stronę można było zastosować wzór a2−b2=(a−b)(a+b) ? (3+2y)x2 + (14+8y)x + (8+y2) warunek: Δ = 0 Δ = (14+8y)2 − 4(3+2y)(8+y2) = 196 + 224y + 64y2 −4(24 + 3y2 + 16y + 2y3) = 64y2 +224y + 196 − 96 − 12y2 − 64y − 8y3 = −8y3 + 64y2 − 12y2 + 224y − 64y + 196 − 96 = −8y3 + 52y2 + 160y + 100 −8y3 + 52y2 + 160y + 100 = 0 2y3 − 13y2 −40y −25 = 0 Dla y = −1 2 * (−1)3 − 13*(−1)2 − 40*(−1) − 25 = −8 − 13 +40 − 25 = 0 Czyli równanie jest spełnione dla y = −1 (x2 + 4x + y)2 = (3+2y)x2 + (14+8y)x + (8+y2) (x2 + 4x −1)2 = x2 + 6x + 9 (x2 +4x − 1)2 = (x+3)2 (x2 + 4x − 1)2 − (x+3)2 = 0 (x2 + 4x − 1 − (x+3)(x2 + 4x − 1 + x + 3) = 0 (x2 +3x −4)(x2 + 5x + 2) = 0 x2 + 3x −4 = 0 Δ = 25 x1 = 1 x2 = −4 x2 + 5x + 2 = 0 Δ = 17 chyba się gdzieś pomyliłem:(
 −5 − 17 
x1 =

 2 
 −5 + 17 
x2 =

 2 
 5−17 
(x2 +3x −4)(x2 + 5x + 2) = 0 ⇔ (x−1)(x+4)(x + U{5 +17]{2})(x +

 2 
 −5 − 17 −5 + 17 
Odp x1 = 1 v x2 = −4 v x3 =

v x4 =

 2 2 
Nie jestem pewien czy dobrze zrobiłem bo ta delta mi dziwna wszyłaemotka Jutro zajmę się następnym przykładem Pozdrawiam
14 cze 00:06
Vax: Rozumowanie i wszystkie obliczenia prawidłowe, tak miało wyjść, gratuluję emotka
14 cze 00:20
ICSP: już myślałem że gdzieś się pomyliłem:( Jeśli dobrze zrozumiałem metodę to pozwala ona sprowadzić dowolny wielomian IV stopnia do dwóch trójmianów kwadratowych Pozdrawiamemotka chyba ten nawyk od ciebie przejąłem
14 cze 00:44
Vax: Tak ta metoda pozwala sprowadzić dowolny wielomian czwartego stopnia do iloczynu dwóch trójmianów kwadratowych, pamiętaj jednak, że w tym równaniu 3 stopnia nie zawsze znajdzie się taki ładny pierwiastek Jak otrzymany wielomian nie ma pierwiastków wymiernych można w ostateczności użyć wzorów Cardano. Pozdrawiam emotka
14 cze 00:50
ICSP: Drugi przykład: x4 + 6x3 + 3x2 − 14x − 3 zakładam że to jest = 0 x4 + 6x3 + 3x2 − 14x − 3 = 0 x4 + 6x3 = −3x2 + 14x + 3 x4 + 6x3 + 9x2 = 9x2 − 3x2 + 14x + 3 (x2+3x)2 = 6x2 + 14x + 3 (x2 + 3x + y)2 = 6x2 + 14x + 3 + a a = (x2 + 3x + y)2 − (x2+3x)2 = (x2 + 3x + y − x2 + 3x)(x2 + 3x + y + x2 + 3x) = y(2x2 + 6x + y) = 2x2y + 6xy + y2 (x2 + 3x + y)2 = 6x2 + 14x + 3 +2x2y + 6xy + y2 (x2 + 3x + y)2 = 6x2 + 2x2y + 14x + 6xy + 3 + y2 (x2 + 3x + y)2 = (6+2y)x2 + (14+6y)x + (y2+3) Δ = (14+6y)2 − 4(6+2y)(y2+3) = 196 + 168y + 36y2 −4(6y2 + 18 + 2y2 + 6y) = 196 + 168y + 36y2 − 24y2 − 72 − 8y3 −24 = −8y3 + 14y2 + 144y + 124 = −4(2y3 − 3y2 − 36y −31) Δ = 0 ⇔ 2y3 − 3y2 − 36y −31 = 0 dla y = −1 2 * (−1)3 − 3 * (−1)2 − 36 (−1) − 31 = −2 −3 +36 −31 = 0 y = −1 jest rozwiązaniem tego równania. (x2 + 3x −1)2 = (6+2y)x2 + (14+6y)x + (y2+3) (x2 + 3x −1)2 = 4x2 + 8x + 4 (x2 + 3x −1)2 = (2x+2)2 (x2 + 3x −1)2 − (2x+2)2 = 0 (x2 + 3x −1 −2x − 2)(x2 + 3x −1 + 2x +2) = 0 (x2 +x − 3)(x2 +5x +1) = 0 x2 + x − 3 = 0 Δ = 13 Δ = 13
 −1 + 13 
x1 =

 2 
 −1 − 13 
x2 =

 2 
x2 + 5x + 1 = 0 Δ = 21 Δ = 21
 −5+21 
x1 =

 2 
 −5−21 
x2 =

 2 
x4 + 6x3 + 3x2 − 14x − 3 = 0 ⇔
 −1 + 13 
x1 =

 2 
 −1 − 13 
x2 =

 2 
 −5+21 
x3 =

 2 
 −5−21 
x4 =

 2 
14 cze 23:20
ICSP: Teraz jak patrzę na te przykłady to jeżeli y musiałbym liczyć ze wzorów Cardano to później równania kwadratowe nie miały by ładnych współczynników a co za tym idzie ich pierwiastki były by wyjątkowo paskudne? Pozdrawiam.
14 cze 23:23
Vax: No niestety, korzystając z tej metody czasem trzeba pracować na ,,brzydkich" liczbach, zdarza się to nawet jeżeli pierwiastkiem jest liczba całkowita, jednak ta metoda jest o tyle dobra, że dzięki niej można znaleźć pierwiastki dowolnego wielomianu 4 stopnia emotka Jednak często w ,,brzydkich" liczbach można szukać wzorów skróconego mnożenia, przykładowo w takim wielomianie: x3+x−2 = 0 Zauważamy od razu, że pierwiastkiem jest x=1, jednak idąc metodą Cardano mamy: x3+x−2 = 0 x = u+v (u+v)3+(u+v)−2 = 0 u3+v3+(u+v)(3uv+1)−2 = 0 {u3+v3 = 2
 1 
{uv = −

 3 
{u3+v3 = 2
 1 
{u3v3 = −

 27 
Są to wzory Viete'a dla trójmianu o pierwiastkach u3,v3 więc możemy ułożyć z nich takie równanie, przyjmując bso, że współczynnik kierunkowy = 1
 1 
z2−2z−

= 0
 27 
 2 ± 47/27  
z =

 2 
x = 31−27/27 + 31+27/27 Wydawać by się mogło, że z tego wyniku do 1 trochę daleko, jednak zauważając, że 1±27/27 =
 21 6 
(

)3 wszystko nam się od razu redukuje i otrzymujemy ... =

= 1 emotka
 6 6 
Dodatkowo to zawinięcie też się nie wzięło z kosmosu Można to wyprowadzić tak, szukamy takich wymiernych a,b aby zachodziło: (a+b7/27)3 = 1+27/27 Czyli
 7 7 
a3 + 37/27a2b +

* ab2 +

7/27b3 = 1+27/27
 9 27 
Skąd możemy oczekiwać:
 7 
{ a3 +

ab2 = 1
 9 
 7 
{ 37/27a2b +

7/27b3 = 27/27
 27 
Skąd po skróceniu w drugim równaniu pierwiastków otrzymujemy:
 7 
{a3 +

ab2 = 1
 9 
 7 
{3a2b+

b3 = 2
 27 
I po rozwiązaniu otrzymujemy ładny wynik:
 1 
{a =

 2 
 3 
{b =

 2 
Stąd:
 1 3 3+21 
1+27/27 = (

+

7/27)3 = (

)3
 2 2 6 
Pozdrawiam.
14 cze 23:54
ICSP: Dziękuję bardzoemotka
15 cze 11:20
Mariusz: Można napisać program np w Javie który będzie losował takie współczynniki (aby się ładnie liczyło ) Ja taki napisałem (losuje pierwiastki i korzysta ze wzorów Viete aby wyświetlić współczynniki albo losuje współczynniki dwóch trójmianów kwadratowych , mnoży je i wyświetla współczynniki)
17 gru 07:49
Mariusz: Vax podał użytkownikowi ICSP najprostszy sposób znajdowania pierwiastków równania czwartego stopnia Można by jeszcze wymnożyc dwa trójmiany w postaci ogólnej i porównac współczynniki Otrzymamy wtedy układ równań którego prowadzi do równania szóstego stopnia (x2+px+q)(x2+rx+s)=x4+a3x3+a2x2+a1x+a0 Po wymnożeniu trójmianów i porównaniu współczynników dostajemy układ równań p+r=a3 q+s+pr=a2 rq+ps=a1 qs=a0 Bez straty ogólnosci moźemy założyc że a3=0 (wystarczy liniowe podstawienie którego można dokonac chociażby schematem Hornera na podstawienie to dośc łatwo wpaśc jeśli znamy dwumian Newtona)
 a3 
Tutaj po podstawieniu x=y−

a przed rozkładem na iloczyn dwóch trójmianów
 4a4 
warto rozpatrzyc przypadek równania dwukwadratowego osobno Jeżeli nie założyliśmy że a3=0 to rozwiązanie otrzymanego układu prowadzi do rozwiązania równania szóstego stopnia które to może byc sprowadzone do równania trzeciego stopnia
 a3 
np na y2 podstawieniem p=

+y
 2 
Tutaj warto najpierw sprawdzic czy możemy wielomian "zawinąc we wzór skróconego mnożenia" na kwadrat (trójmianu kwadratowego) bądź czwartą potęgę dwumianu Można też użyc metody analogicznej do tej której używaliśmy do rozwiązywania równań trzeciego stopnia jednak nie byłaby ona prostsza od tej którą pokazał Vax Vax pewnie lepiej ubrałby w słowa to co napisałem
4 kwi 13:45
Don: X3−3x=12−x
3 paź 18:48
Mila: rysunek x3−3x=12−x⇔ x3−2x−12=0 − brak pierwiastków wymiernych ( sprawdź!) p=−2 q=−12
 p q −2 −8 
Δ=(

)3+(

)2=(

)3+(−6)2=

+36>0⇔
 3 2 3 27 
Równanie ma jeden pierwiastek rzeczywisty. Teraz w zależności od potrzeb: − rozwiązujesz graficznie ( przybliżone rozwiązanie równania) f(x)=x3−3x, g(x)=12−x x≈2.6 lub − metoda Cardano
3 paź 20:35
Mariusz: x3−2x−12=0 x=u+v (u+v)3−2(u+v)−12=0 u3+3u2v+3uv2+v3−2(u+v)−12=0 u3+v3−12+3(u+v)uv−2(u+v)=0
 2 
u3+v3−12+3(u+v)(uv−

)=0
 3 
u3+v3−12=0
 2 
3(u+v)(uv−

)=0
 3 
u3+v3−12=0
 2 
uv−

=0
 3 
u3+v3=12
 2 
uv=

 3 
u3+v3=12
 8 
u3v3=

 27 
 8 
t2−12t+

=0
 27 
 8 
(t−6)2−36+

=0
 27 
 972−8 
(t−6)2

=0
 27 
 964 
(t−6)2

=0
 27 
 2892 
(t−6)2

=0
 81 
 54−2723 54+2723 
(t−

)(t−

)=0
 9 9 
 162−6723 162+6723 
(t−

)(t−

)=0
 27 27 
x=u+v
 1 
x=

(3162−6723+3162+6723)
 3 
Co można też zapisać jako
 1 2 
x=

3162+6723+

 3 3162+6723 
Gdybyś miał −x3−3x=12−x to łatwiej byłoby ci zgadnąć pierwiastek
3 paź 21:02