matematyka.pisz.pl EGZAMIN GIMNAZJALNY MATURA forum zadankowe liczby i wyrażenia algebraiczne logika, zbiory, przedziały wartość bezwzględna funkcja i jej własności funkcja liniowa funkcja kwadratowa wielomiany funkcja wymierna funkcja wykładnicza logarytmy ciągi liczbowe granica ciągu i funkcji pochodna i całka funkcji trygonometria geometria na płaszczyźnie geometria analityczna geometria w przestrzeni kombinatoryka prawdopodobieństwo elementy statystyki gra w kropki
oblicz macierz odwrotną do macierzy niestety nie aisztajn: 1 −2 3 −4
15 mar 13:35
Basia: det A = 1*(−4)−(−2)*3 = −4+6 = 2 −4 −3 AD = 2 1 −4 2 (AD)T = −3 1 −2 1 A−1 = −32 12
15 mar 14:17
Czarownica: 1) obliczamy wyznacznik macierzy A: det(A) = d11*d22−d21*d12 = 1* (−4) − 3 *(−2) = 2 det(A)≠0 więc A−1 istnieje − A−1 to macierz odwrotna 2) wyznaczamy dopełnienia algebraiczne (liczbę (−1) do potęgi takiej jak suma współrzędnych w macierzy 2 na 2 to zasłaniamy rząd i wiersz, w którym znajduje się wyraz o podanych współrzędnych i przez ten pozostały mnożymy ) d11=(−1)1+1 (−4)=−4 d12=(−1)1+2 3=−3 d21=(−1)2+1 (−2)=2 d22=(−1)1+2 1=1 3) macierz dopełnień wygląda tak:
 −4 −3 
D= [

]
 2 1 
4) no i w końcu wyznaczamy macierz odwrotną A−1
 1 1 1 −3 
1 −3 


2 2 
 
A−1 =

* DT =

[

]=[

]
 det(A) 2 2 −4 1 −2 
(te duże kreski ułamkowe to nie ułamek, ale nie potrafiłam inaczej napisać macierzy − macierze zapisałam w nawiasach kwadratowych [ ])
15 mar 14:19
Basia: a gdzie transpozycja macierzy dopełnień ? pomnóż A przez swój wynik i zobacz czy dostaniesz macierz jednostkową
15 mar 14:21
Czarownica: 4) punkt źle zrobiłam transpozycj − Basia prawidłowo
15 mar 14:21
niestety nie aisztajn: dziekuje bardzo mam jeszcze jedno 1 2 2 3 4
15 mar 14:22
Basia: czy ten zapis oznacza, że masz policzyć A2 gdzie A = 1 2 3 4 ?
15 mar 14:35
niestety nie aisztajn: [tu sa te liczby ] 2
15 mar 14:39
niestety nie aisztajn: ten nawias to macierz
15 mar 14:39
Basia: no to wynikiem pomnóż macierz A przez macierz A, bo A2 = A*A gdzie A to Twoja macierz a "*" oznacza możenie macierzy w11 = pierwszy wiersz * pierwsza kolumna = 1*1+2*3 = 7 w12 = pierwszy wiersz * druga kolumna = 1*2+2*4 = 10 w21 = drugi wiersz * pierwsza kolumna = .................. dokończ w22 = drugi wiersz * druga kolumna = .................. dokończ
15 mar 14:42
niestety nie aisztajn: trzeba macierz odwrotna razy macierz odwrotna?
15 mar 14:44
Basia: to nie ma nic wspólnego z macierzą odwrotną mnożysz macierz A przez macierz A [ 1 2 ] * [ 1 2 ] [ 3 4 ] [ 3 4 ] w11 = 1*1+2*3 w12 = 1*2+2*4 w21 = 3*1+4*3 w22 = 3*2+4*4 wynik to macierz [ w11 w12 ] [ w21 w22 ] policz sobie do końca i podstaw
15 mar 14:51
niestety nie aisztajn: ale tutaj trzeba obliczyć macierz odwrotna
15 mar 14:52
Basia: A2 to kwadrat macierzy a nie macierz odwrotna
15 mar 14:55
niestety nie aisztajn: czyli to co wyjdzie trzeba policzyć tak jak w przykładzie pierwszym?
15 mar 14:56
niestety nie aisztajn: ale w poleceniu mam obliczyć macierz odwotną to jest podpunkt b
15 mar 14:57
Basia: czyli masz policzyć (A2)−1 czyli tak; teraz tak jak w przykładzie (1) liczysz macierz odwrotną do tego co wyszło z mnożenia
15 mar 15:00
niestety nie aisztajn: oblicz macierz odrotną do macierzy [1 2]2 [3 4]
15 mar 15:02
Basia: patrz post wyżej; tak to należy zrobić
15 mar 15:04
niestety nie aisztajn: czyli mysle ze to trzeba tak jak robiłas jedna razy druga a poxniej tak jak w pierwszym
15 mar 15:05
Basia: tak
15 mar 15:28
komentator OWMH: Jeśli A − macierz kwadratowa i A−1 − macierz odwrotna od macierzy A to A . A−1 = I ; ( det A ≠ 0) Aby znaleźć macierz odwrotna od macierzy A [ 1 −2 ] [ a b ] A = zakładamy że A−1 istnieje i ma postać A−1 = [ 3 −4 ] [ c d ] [ 1 −2 ] [ a b ] [ 1 0 ] A . A{−1} = I ⇔ . = [ 3 −4 ] [ c d ] [ 0 1] stosując iloczyn macierzowy: 1.− a − 2c =1 A . A{−1} = I ⇔ układ równań 2.− b − 2d = 0 3.− 3a −4c = 0 4.− 3b − 4d = 1 rozwiązując ten układ mamy : 1.− a − 2c =1 2.− b − 2d = 0 A . A{−1} = I ⇔ ukł. r−nań ⋀ ukł. r−nań 3.− 3a −4c = 0 4.− 3b − 4d =1 1.− a = −2 2.− b = 1 A . A{−1} = I ⇔ ukł. r−ń ⋀ ukł. r−nań 3.− c = −3/2 4.− d = 1/2 a więc : [ −2 1 ] A−1= [ −3/2 1/2 ] myślę ze tutaj ten sposób jest prosty; tylko trzeba pamiętać jak sie wykonuje mnożenie macierzy
15 mar 15:47
komentator OWMH: poprawy wygładu to co pisałem wcześniej ; po czwartel wierszy powinno być [ 1 −2 ] A = zakładamy że A−1 istnieje i ma postać: [ 3 −4 ] [ a b ] A−1 = [ c d ]
15 mar 15:55