matematyka.pisz.pl EGZAMIN GIMNAZJALNY MATURA forum zadankowe liczby i wyrażenia algebraiczne logika, zbiory, przedziały wartość bezwzględna funkcja i jej własności funkcja liniowa funkcja kwadratowa wielomiany funkcja wymierna funkcja wykładnicza logarytmy ciągi liczbowe granica ciągu i funkcji pochodna i całka funkcji trygonometria geometria na płaszczyźnie geometria analityczna geometria w przestrzeni kombinatoryka prawdopodobieństwo elementy statystyki gra w kropki
Basiu, Eto, Godzio - proszę o opinię na temat zadania: Gustlik: Basiu, Eto, Godzio − proszę o opinię na temat zadania: Niedawno robiłem z jedną uczennica z kl. I LO takie zadanie: Funkcja kwadratowa ma dwa miejsca zerowe: −5 i 11 oraz przyjmuje największą wartość równą 10. Oblicz współrzędne wierzchołka paraboli. Zadanie oczywiście rozwiązałem prostą metodą, ale jak zobaczyłem, jaką metodę zastosowala pani nauczycielka, to się załamałem. Ja zrobilem tak: obliczyłem p ze wzoru:
 x1+x2 −5+11 6 
p=

=

=

=3 → p leży zawsze dokładnie w środku między miejscami
 2 2 2 
zerowymi, wynika to z symetrii paraboli q=10 − największa wartość funkcji musi być na wierzchołku, jeżeli a<0 Odp.: W=(3, 10) → KONIEC ZADANIA Natomiast w szkole nauczycielka wymyśliła taki układ równań: { a*(−5)2+b*(−5)+c=0 { a*112+b*11+c=0
 −b2+4ac 
{

=10
 4a 
Metoda wprawdzie poprawna, ale kosmiczna, czaso− i pracochłonna. Oczywiście wiem, skąd wzięły się te równania − dwa piewrsze z podstawienia współrzędnych miejsc zerowych do postaci ogólnej funkcji kwadratowej y=ax2+bx+c, ostatnie wzięło się ze wzoru
 −Δ 
q=

.
 4a 
I tak właśnie wyglądają szkolne metody nauczania. Chciałem Was prosić o wypowiedź w tej sprawie. Basiu, Eto, Godzio − co Wy na to?
13 cze 01:30
Godzio: Oczywiście, że zdarzają się takie przypadki że nauczyciel robi taką metodą ale nie uważam żeby to była większość.
13 cze 01:42
Gustlik: Może akurat taki układ z trzema niewiadomymi należy do rzadkości, ale w wielu przypadkach udało mi się wyeliminować układy dwóch rownań z dwiema niewiadomymi na rzecz jednego albo dwóch równan zawierających JEDNĄ niewiadomą, a to już się łatwiej rozwiązuje. Tak zrobilem m.in. w zadaniach z ciągów arytmetycznych i geometrycznych. Niemal w każdym dziale matematyki znalazlem prostsze metody rozwiązywania zadań, niż szkolne. Równanie okręgu i równanie prostej przechodzącej przez 2 punkty to jedne z nich. Ale prawda jest taka: mało nauczycieli podaje, że dla funkcji kwadratowej q można obliczyć w drugi sposób jako f(p), czyli wartość dla x=p, a ta własność często bardzo usprawnia rozwiązywanie zadań,
 x1+x2 
np. wzory p=

i q=f(p) pozwalają na szybkie przekształcenie postaci iloczynowej
 2 
funkcji kwadratowej na kanoniczną z pominięciem postaci ogólnej. Prościej niż w szkole można oblioczać zadania z ciągów liczbowych, z geometrii, z trygonometrii itp.
13 cze 01:59
Godzio: Co do tego to nauczyciel nawet czasami nie powinien wszystkiego mówić, o tym że
 x1 + x2 
p =

mówił (przynajmniej w naszej kl. ) ale np o q = f(p) nie musi mówić bo każdy
 2 
myślący człowiek raczej powinien się domyślić q = f(p) − oczywista oczywistość emotka
13 cze 02:13
AS: Najprawdopodobniej nie poszukiwała żadnych prostych metod, tylko przyjęła,że punkty A(x1,0),B(x2,0),C(xw,yw) należą do paraboli y = a*x2 + b*x + c. Rozwiązując układ równań znalazła potrzebne a,b i c. Może staż jej był jeszcze krótki i zabrakło pewnej inwencji,może po prostu nie zauważyła innej metody.
13 cze 08:47
Amaz:
 x1+x2 
Jeżeli chcesz korzystać z tego, że p=

, to należy to najpierw udowodnić, jeśli nie
 2 
było tego na lekcji. Wtedy będzie wszystko dobrze emotka
13 cze 10:43
Bogdan:
 x1 + x2 
Nie ma co udowadniać, zależność xw =

wynika z faktu mówiącego o tym, że
 2 
wierzchołek paraboli leży na osi symetrii paraboli: y = xw, a miejsca zerowe są punktami wzajemnie symetrycznymi względem tej osi.
13 cze 11:05
Amaz: W mojej szkole nie zostało to powiedziane i gdybym musiał wykorzystać ten fakt, musiałbym go najpierw udowodnić. Wszystko zależy od nauczyciela
13 cze 11:12
Bogdan: Prosta y = xw, gdzie xw jest odciętą wierzchołka paraboli, jest osią symetrii paraboli i to jest jedna z własności wykresu funkcji kwadratowej. Tę własność powinien każdy uczeń, nawet bez wskazywania na nią przez nauczyciela, sam zauważyć. Inną własnością paraboli jest to, że miejsca zerowe, o ile istnieją, są symetryczne względem osi symetrii paraboli.
 −b −b 
Wiemy, że xw =

, a z wzorów Viete'a mamy: x1 + x2 =

/ :2 ⇒
 2a a 
 x1 + x2 −b x1 + x2 

=

, a stąd

= xw.
 2 2a 2 
13 cze 11:30
Basia: Gustlik ciągle się z Tobą kłócę, ale tym razem masz 150% racji.
13 cze 11:39
Amaz: No dobra "udowodnić" to było za duże słowo
13 cze 11:41
Gustlik: Basiu dzięki za poparcie − ja jestem zwolennikiem prostych i przejrzystych metod i staram się je pokazywać wszędzie tam, gdzie tylko potrafię. A o sposobie nauczania matematyki w szkołach mam bardzo negatywne zdanie − stosując szkolną skalę ocen − obecny system nauczania oceniam na 2. Nie podoba mi się, że nauczyciele stosują zazwyczaj tylko JEDNĄ metodę do rozwiązywania zadań z każdego działu, zazwyczaj nie jest to metoda prosta. I to nie tylko z rownaniem okręgu czy prostej tak wygląda. To samo dzieje się np. z ciągami. Nie rozumiem dlaczego ani autorzy podręczników ani nauczyciele w szkołach nie pokażą wzoru na wyraz ciągu arytmetycznego an−ak=(n−k)*r, czy na ciąg geometryczny an/ak=qn−k tylko zadania, gdzie podane są wyrazy np. a5 i a9 wałkują układami równań ze wzoru na wyraz ogólny ciągu. A można to zrobić tak: a9−a5=4r lub a9/a5=q4 i szybko wyznaczyć różnicę czy iloraz ciągu. Potem wyraz a1=a5−4r lub a1=a5/q4 i można zadanie rozwiązać prostymi równaniami z JEDNĄ niewiadomą. Tak samo wygląda sprawa ze schematem Hornera przy rozwiązywaniu zadań z wielomianami. Równania czy nierówności wielomianowe, których nie można w klasyczny sposób rozłożyć na czynniki, rozwiązuje się szukając pierwiastka poprzez wstawianie kolejnych podzielników i liczenie w klasyczny sposób W(1), W(−1), W(2), W(−2) itd. aż trafi się na pierwiastek, a potem dzielenie przez (x−p) słupkiem. Zamiast tego można kolejne podzielniki wstawiać do schematu Hornera i liczyć prostą tabelką, aż reszta wyjdzie 0 − za jednym zamachem mamy dwa w jednym − znaleziony pierwiastek i obliczone współczynniki wielomianu wynikowego. Spotkałem się jeszcze z zakręconą i mało zrozumiałą dla uczniów metodą rysowania wykresów wielomianów przy nierównościach. Polega ona na tym, że wielomian rozkładamy na czynniki liniowe i kwadratowe i zamiast rysowania jednolitego wykresu rysuje się parabole i proste i bada znaki w przedziałach. Rysunek złożony z plusów i minusów przypomina szlaczki rysowane przez uczniów I klasy podstawówki, a nie fachowo rozwiązane zadanie. Dodam, że nauczycielka nie pokazała prostszej metody, mimo iż mała ja omówioną w książce − była to ta sama metoda, którą stosuje Jakub, omówiona tutaj: http://matematyka.pisz.pl/strona/142.html . Dodam, że ja też stosuję metodę Jakuba, bo jest prosta, przejrzysta i zrozumiała dla uczniów. Inny przykład utrudniania życia uczniom: zadania z geometrii typu ze stosunkiem podziału odcinków czy boków figur, np: odcinek o długości 20 cm podzielono w stosunku 2:3. Oblicz długości jego części. W szkołach rozwiązuje się to najczęściej układem równań: {x+y=20 {x/y=2/3 A można prościej − na jednej niewiadomej: oznaczyć części odcinka 2x i 3x: 2x+3x=20 5x=20 /:5 x=4 I mamy długości części odcinka: 2x=8 3x=12 Przykładów utrudniania życia uczniom można mnożyć. Najgorzej, że nie pokazuje się alternatywnych, prostszych metod, a zdarza się, że nauczyciele tępią inne metody, mimo że są one poprawne. Uff, rozpisałem się, ale o stosowaniu pokręconych metod nauczania, a raczej oduczania matematyki w szkołach, mozna byłoby książkę napisać. Apeluję do nauczycieli: pokazujcie kilka metod tam, gdzie to możliwe, bo jedni wola metody trudniejsze, a inni wolą proste.
14 cze 00:39
Gustlik: A propos ciągów przypomniała mi się jeszcze jedna sprawa: nauczycioele jak ognia unikają porównywania ciągów do funkcji, mimo że słowo "funkcja" występuje w definicji ciągu, bo jest to właśnie funkcja określona na liczbach naturalnych dodatnich, a "n" to "x", "an" to "y". Tymczasem to porównanie i skorzystanie z własności odpowiednich funkcji ułatwia zrozumienie zagadnienia i rozwiązanie zadania. Nie podaje się również związku ciągu arytmetycznego z funkcja liniową oraz ciągu geometrycznego z funkcją wykładniczą, mimo iż związek jest oczywisty i mozna byłoby skorzystać z własności tych funkcji przy rozwiązywaniu zadań z ciągami, np. szybko wyznaczyć monotoniczność ciągu rozpoznając ją "po współczynnikach" itp.
14 cze 01:24
Godzio: Ale też wszędzie tak nie jest. Mój nauczyciel mówił o związku funkcji liniowej i ciągu o tych wzorach an = ak + (n − k)*r. Także nie jest aż tak fatalnie jak mówisz emotka
14 cze 01:27
Godzio: A o tym: odcinek o długości 20 cm podzielono w stosunku 2:3 {x+y=20 {x/y=2/3 − pierwszy raz słyszę żeby to rozwiązywać w ten sposób
14 cze 01:28
Eta: długości tych części : 2x i 3x dla x >0 2x+3x= 20 x= 4 2x= 8 , 3x= 12 i tylko tak emotka
14 cze 01:36
Godzio: No właśnie, w życiu się nie spotkałem z rozwiązaniem tego za pomocą układu
14 cze 01:37
Eta: na "upartego" można: x= 23y 23y+y =20 => 53y= 20 => y= 12 x= 23*12= 8 tylko, po co?
14 cze 01:54
Gustlik: A ja się właśnie spotkałem z takim obliczaniem stosunku podziału. Z ciągiem arytmetycznym jest jeszcze jedna ciekawa sprawa, o której rzadko się mowi w szkołach: jeżeli mamy w zadaniu podaną sumę dwóch wyrazów parzystych albo dwóch nieparzystych, to możemy za pomoca średniej arytmetycznej łatwo wyznaczyć wyraz srodkowy, np.
 a1+15 a2+a8 

=a3,

=a5 itd. Z tej samej własności możemy szybko wyznaczyć
 2 2 
środkowy wyraz, gdy mamy podaną sumę nieparzystej liczby wyrazów, np.
 a1+a5 a1+a7 
S5=

*5=a3*5, S7=

*7, czyli Sn=aśr*n, gdy n jest
 2 2 
nieparzyste i aśr − środkowy wyraz pomiędzy a1 i an. Szybkie wyznaczenie wyrazu środkowego eliminuje układy równań, bo dalej można liczyć wg wzoru an−ak=(n−k)*r i wtedy pozostałe wyrazy ciągu też wyznaczamy równaniem z jedną niewiadomą.
14 cze 23:17