równanie różniczkowe jc: Zadanie dla Mariusza. Rozwiąż równanie różniczkowe x (y')2 + (2−x−y) y' + y = 0 Próbowałem, ale nie dałem rady.
20 maj 13:01
Mariusz: Ja tylko przekształciłem do nieco innej postaci ale na razie nie mam pomysłu jak dalej rozwiązywać x(y')2+(2−x−y)y'+y=0 x(y')2+(2−x)y'−yy'+y=0 x(y')2+(2−x)y'+y(1−y')=0 y(y'−1)=x(y')2+(2−x)y'
 2−x x(y')2 
y=

+

 y'−1 y'−1 
Równanie nie jest równaniem Lagrange Rozwiązanie równania kwadratowego daje
 (y+x−2)±(y+x−2)2−4x 
y'=

 2x 
u=y+x−2 y=u−x+2 y'=u'−1
 u2−4x 
u'−1=

 2x 
 u+2x±u2−4x 
u'=

 2x 
2xu'=u+2x±u2−4x
 du 
2x

=u+2x±u2−4x
 dx 
2xdu=(u+2x±u2−4x)dx
2x 

du=dx
u+2x±u2−4x 
 2x 
x'=

 u+2x±u2−4x 
 2x 
x'=

 u+2x±u2−4x 
 1 
x=

(u2−z2)
 4 
 1 
x'=

(2u−2zz')
 4 
1 1 
1 

(u2−z2)
2 
 

u−

zz'=

2 2 
 1 
u+

(u2−z2)+u2−(u2−z2)
 2 
 
1 1 
1 

(u2−z2)
2 
 

u−

zz'=

2 2 
 1 
u+

(u2−z2)+z
 2 
 
 u2−z2 
u−zz'=

 2u+2z+u2−z2 
 u2−z2 
zz'=u−

 2u+2z+u2−z2 
 u(u+z)(u−z+2)−(u+z)(u−z) 
zz'=

 (u+z)(u−z+2) 
 (u+z)(u2−uz+2u−u+z) 
zz'=

 (u+z)(u−z+2) 
 u2−uz+u+z 
z'=

 z(u−z+2) 
 u2−uz+u+z 
z'=

 z(u−z+2) 
20 maj 15:10
Mariusz: A jednak Lagrange
 2−x (y')2 
y=

+x

 y'−1 y'−1 
 2 1 (y')2 
y=

−x

+x

 y'−1 y'−1 y'−1 
 (y')2−1 2 
y=

x+

 y'−1 y'−1 
 2 
y=(y'+1)x+

 y'−1 
a teraz różniczkujemy stronami wprowadzamy parametr i sprowadzamy do liniowego
20 maj 15:20
jc: Dziękuję. Jedno rozwiązanie znam, ale teraz wydaje mi się, że źle napisałem równanie. Wiem, jeśli x+y=2, to y spełnia równanie. Ale co w takim razie oznaczają inne rozwiązania?
20 maj 15:54
Mariusz: W przypadku równania Clairaut wychodziło jedno rozwiązanie osobliwe i rozwiązanie ogólne Tutaj rozwiązanie otrzymamy w postaci parametrycznej i możemy próbować wyrugować parametr z równania Mamy rozwiązanie y'=y''x+(y'+1)−2(y'−1)−2y''
 2 
0=y''x+1−

y''
 (y'−1)2 
y'=p
 dp 2dp 
x

+1−


 dx (p−1)2dx 
 2 dp 
(x−

)

+1=0
 (p−1)2 dx 
 2 dp 
(−x+

)

−1=0
 (p−1)2 dx 
 2 dp 
(−x+

)

=1
 (p−1)2 dx 
 dx 
−x+U{2}{(p−1)2=

 dp 
dx 2 

+x=

dp (p−1)2 
dx 

+x=0
dp 
dx 

=−x
dp 
dx 

=−dp
x 
ln|x|=−p+ln|C| x=Ce−p x(p)=C(p)e−p
 2 
C(p)'e−p−C(p)e−p+C(p)e−p=

 (p−1)2 
 2 
C(p)'e−p=

 (p−1)2 
 2 
C(p)'=

ep
 (p−1)2 
 2 ep 
C(p)=−

ep+2∫

dp
 p−1 p−1 
 2 ep−1 
C(p)=−

ep+2e∫

dp
 p−1 p−1 
 2 
C(p)=−

ep+2eEi(p−1)+C
 p−1 
 2 
C(p)=−

ep+2eEi(p−1)+C
 p−1 
x(p)=C(p)e−p
 2 
x(p)=−

+2eEi(p−1)e−p+Ce−p
 p−1 
 2 
y(p)=−2+2e(p−1)Ei(p−1)e−p+C(p−1)e−p+

 p−1 
I teraz chcesz ten parametr wyrugować ?
20 maj 16:34
jc: Jeszcze raz bardzo dziękuję emotka Jak powiedziałem, dopiero teraz uświadomiłem sobie, błędnie napisałem równanie. Gdyby chociaż wyszło coś prostego?
20 maj 16:51
Mariusz: A ja tu pod koniec źle wymnożyłem Źle napisałeś równanie ale i tak dało się je rozwiązać tyle że postać parametryczna wymaga znajomości pewnej funkcji nieelementarnej a postać jawna wyrugowania parametru Równanie Lagrange to był mój pierwszy pomysł ale po przekształceniu zwątpiłem i próbowałem rozwiązać równanie kwadratowe A to poprawne równanie było łatwiejsze do rozwiązania ?
20 maj 17:15
jc: Mariusz, napiszę o co chodzi. Pewien czas temu na forum pojawiło się takie zadanie: http://matematyka.pisz.pl/forum/401186.html Jakoś przypadkiem trafiłem z odpowiedzią. Potem spytałem kolegi, jakby to zrobił. Powiedział, że rozwiązałby równanie różniczkowe. No i napisałem równanie, tylko że bez sensu. Znając odpowiedź, łatwo napisać poprawne równanie, ale jak napisać równanie znając tylko treść zadania?
20 maj 18:05
Mariusz: Równanie stycznej y−y0=f'(x0)(x−x0) y−f(t)=f'(t)(x−t) Punkty przecięcia osi układu współrzędnych −f(t)=f'(t)(x−t) y−f(t)=−f'(t)t f'(t)(x−t)+f(t) y=f(t)−f'(t)t (f(t)−f'(t)t)+f'(t)(x−t)+f(t)=2a f(t)−f'(t)t+f'(t)x−f'(t)t+f(t)=2a (x−2t)f'(t)+2f(t)=2a I teraz gdyby wyrugować x to mielibyśmy równanie różniczkowe
22 maj 09:15
Mariusz: To już wiem skąd otrzymałeś to równanie Niestety ja też doszedłem tylko do tego równania −f(t)=f'(t)(x−t) y−f(t)=−f'(t)t y=f(t)−f'(t)t
 f(t) 
x−t=−

 f'(t) 
y=f(t)−f'(t)t
 f(t) 
x=t−

 f'(t) 
 f(t) 
t−

+f(t)−f'(t)t=2a
 f'(t) 
 f(t) 
f'(t)t−

+(t−f(t)−2a)=0
 f'(t) 
t(f'(t))2+(t−f(t)−2a)f'(t)−f(t)=0
22 maj 09:25
Mariusz: x (y')2 + (2−x−y) y' + y = 0 y=u−x x(u'−1)2+(2−x−(u−x))(u'−1)+u−x=0 x((u')2−2u'+1)+(2−u)(u'−1)+u−x=0 x(u')2−2xu'+x+(2−u)u'−2+u+u−x=0 x(u')2+(2−u−2x)u'+2u−2=0 x(u')2+(2−u)u'−2xu'+2u−2=0 x(u')2+2u'−uu'−2xu'+2u−2=0 x((u')2−2u')+2u'−2−(u'−2)u=0 x((u')2−2u')+2u'−2=(u'−2)u
 u'(u'−2) 2u'−2 
u=

x+

 u'−2 u'−2 
 2u'−2 
u=u'x+

 u'−2 
a zatem można te równanie sprowadzić także do równania Clairaut
 2u''(u'−2)−(2u'−2)u'' 
u'=u''x+u'+

 (u'−2)2 
 (2u'−4)−(2u'−2) 
0=u''x+u''

 (u'−2)2 
 2 
0=u''x−u''

 (u'−2)2 
 2 
0=u''(x−

)
 (u'−2)2 
u'=p
 2 
0=p'(x−

)
 (p−2)2 
p'=0 x−U{2}{(p−2)2=0 p=C x=U{2}{(p−2)2 Dla p=C otrzymujemy rozwiązanie
 2C−2 
u=Cx+

 C−2 
 2C−2 
y=(C+1)x+

 C−2 
 2 
x=

 (p−2)2 
 2p 2p−2 
u=

+

 (p−2)2 p−2 
 2 
x=

 (p−2)2 
 2p 2p−2 
u=

+

 (p−2)2 p−2 
 2 
x=

 (p−2)2 
 2p−2 2p−2 
y=

+

 (p−2)2 p−2 
 (2p−2) (2p−2)(p−2) 
y=

+

 (p−2)2 (p−2)2 
 (p−1)(2+2p−4) 
y=

 (p−2)2 
 (p−1)(2p−2) 
y=

 (p−2)2 
 2 
y=(p−1)2

 (p−2)2 
 2 
x=

 (p−2)2 
(p−2)2x=2
 2 
(p−2)2=

 x 
 2 
p−2=

 x 
 2 
p−1=1+

 x 
 2 
y=(1+

)2x
 x 
Mamy zatem rozwiązanie ogólne
 2C−2 
y=(C+1)x+

 C−2 
i rozwiązanie szczególne
 2 
y=(1+

)2x
 x 
 2 22 
y=(1+

+

)x
 x x 
y=2+(22)x+x
22 maj 14:58