Równanie różniczkowe wyższego rzędu Ola: Czy mogłabym prosić o jakąś wskazówkę do tego równania różniczkowego? Z góry bardzo dziękuję. (y'+2y)y''=(y')2
19 maj 19:40
Mariusz: y'=u(y) y''=u'(y)y' y''=u'(y)u(y) (u+2y)uu'=u2 (u+2y)u'=u Masz równanie jednorodne
 u 
u'=

 u+2y 
du u 

=

dy u+2y 
u=vy u'=v'y+v
 vy 
v'y+v=

 vy+2y 
 v 
v'y=

 v+2 
dv v1 

=


dy (v+2)y 
v+2 1 

dv=

dy
v y 
 2 dy 
(1+

)dv=

 v y 
(v+2ln|v|)=ln|y|+C C−v=2ln|v|−ln|y|
 v2 
C−v=ln|

|
 y 
 u v2y2 
C−

=ln|

|
 y y3 
 u u2 
C−

=ln|

|
 y y3 
u u2 

+ln|

|=C
y y3 
Przydałoby się z tej postaci uzyskać postać jawną aby rozwiązać równanie y'=u(y)
20 maj 09:27
Mariusz: Pomyliłem się w rachunkach (ty też sprawdzaj swoje)
 vy−v(vy+2y) 
v'y=

 vy+2y 
 vy−v2y−2vy 
v'y=

 vy+2y 
 vy+v2y 
v'y=−

 vy+2y 
 v+v2 
v'y=−

 v+2 
dv v(v+1)1 

=−


dy v+2y 
v+2 dy 

dv=−

v(v+1) y 
(2v+2)−v dy 

dv=−

v(v+1) y 
 2 1 dy 
(


)dv=−

 v v+1 y 
2ln|v|−ln|v+1|=−ln|y|+ln|C1|
v2 C1 

=

v+1 y 
v2y 

=C1
v+1 
v2y2 

=C1
vy+y 
u2 

=C1
u+y 
u2=C1(u+y) u2−C1u−C1y=0
 C1±C12+4C1y 
u=

 2 
 C1±C12+4C1y 
y'=

 2 
2y'=C1±C12+4C1y
2 

dy=dx
C1±C12+4C1y 
Tutaj aby policzyć tę całkę wystarczy podstawić za pierwiastek
20 maj 09:46