Nierówność AHQ: Liczby nieujemne a i b spełniają warunek a2+b2=4 Udowodnij, że
ab 

2−1
a+b+2 
Moja praca: Obserwacja 1 Zauważmy, że z założenia wynika: a∊(0;2) oraz b∊(0;2) Obserwacja 2 Bazując na obserwacji 1 udowodnimy nierówność a+b > ab dla a∊(0;2) oraz b∊(0;2)
 b a b a 
DOWÓD: ab = a

+ b

< a+b (zarówno

jak i

są mniejsze od 1)
 2 2 2 2 
Próbowałem przekształcić w taki sposób:
ab ab 

<

a+b+2 ab+2 
19 maj 19:31
AHQ: (...) i rozstrzygnij kiedy zachodzi równość.
19 maj 19:33
Leszek: Napisales ,ze a/2 < 1 ⇒ a< 2 i b< 2 to jakim cudem a2 + b2 = 4 ? ? ?
19 maj 19:36
AHQ: ≤ − poprawiam − nawiasy domknięte powinny być Równość zachodzi dla a=b
19 maj 19:40
ABC: no dobra równość zachodzi a gdzie dowód nierówności? mi zajęło około 15 minut myślenia a jestem stary dziad , a przeglądając twoje inne wpisy wygląda że masz aspiracje do startu w Olimpiadzie Matematycznej, to powinieneś to w 5 minut rozwalić
19 maj 20:14
ICSP:
 ab ab(a + b − 2) a + b − 2 
L =

=

=

=
 a + b + 2 (a+b)2 − 4 2 
 |a + b| (a+b)2 (a+b)2 + (a−b)2 
=

− 1 =

− 1 = ≤

− 1 = 2 − 1 = P
 2 2 2 
19 maj 21:15
ICSP: tam = przed ≤ trza usunąć Widać też kiedy zachodzi równość.
19 maj 21:16
Minato: Niech a i b ≠ 0 (dla a = 0 lub b = 0 nierówność zachodzi) Gm ≥ Hm
 1 1 ab 3 1 
[



]1/3

|•

 a b 2 
1 1 1 

+

+

a b 2/ab 
 3 
1 1 ab 


=

332 
a+b+2 

ab 
 a+b+2 
pokazaliśmy nawet nierówność mocniejszą
19 maj 21:22
ABC: to rozwiązanie rasowego olimpijczyka, ja bardziej prostacko robiłem emotka jeśli a=0 lub b=0 to wyjściowa prawdziwa , a jeśli nie , to można zamiast wyjściowej dowodzić
a+b+2 1 1 2 

2+1 czyli

+

+

2+1
ab a b ab 
 1 1 
i teraz z (


)2≥0 i warunku a2+b2=4 już idzie
 a b 
19 maj 21:25
Minato: ABC też miała taki plan emotka, ale przy okazji wyszło coś innego emotka
19 maj 21:31
ICSP: Minato
 2 a + b + 2 
a + b +


 ab ab 
19 maj 21:35
Minato: Ale ja nic takiego nie napisałem
1 1 1 1 1 2 

+

+

=

+

+

=
a b 
ab 

2 
 a b ab 
b a 2 a+b+2 

+

+

=

ab ab ab ab 
19 maj 21:40
Minato: fakt, sorry, zwracam honor
19 maj 21:42
ICSP: Źle zapisałeś/aś zatem nierówność harmoniczną. Należy odwrócić składniki występujące pod pierwiastkiem.
19 maj 21:42
ABC: zdaje się że ICSP chodzi o to że (zmienię litery) średnia harmoniczna x,y,z to
3 

1 1 1 

+

+

x y z 
 
 1 1 ab 
i x=

, y=

, z=

 a b 2 
19 maj 21:45
Minato: ale można to poprawić
a2+b2 

(ab)2
2 
2 ≥ ab
 (ab)2 4 
Gm = (

)1/3 ≤ (

)1/332
 2 2 
zatem
ab 32 


a+b+2 3 
NIestety to ograniczenie nie daje nam tezy
19 maj 22:13
19 maj 22:37
PW: 4 = a2 + b2 ≥ 2p{a2b2 = 2ab (nierówność między średnimi) Wynika stąd, że ab ≤ 2, a więc
 2 
(1)

≥ 1
 ab 
Znana jest nierówność
 a b 
(2)

+

≥ 2.
 b a 
ab 1 

=

.
a+b+2 
a b 2 

+

+

b a ab 
 
Z (1) i (2) wynika, że mianownik tego ułamka jest większy od 3 lub równy 3, zatem ułamek nie
 1 
przekracza

.
 3 
Jak wiadomo
1 

< 0,4 < 2 − 1, co kończy dowód.
3 
Takie bardzo olimpijskie to nie jest.
20 maj 00:42
ABC: PW trochę nie rozumiem twojego rozwiązania, ta równość którą napisałeś pod (2)
ab 1 

=

nie jest prawdziwa dla dowolnych a,b
a+b+2 
a b 2 

+

+

b a ab 
 
jakieś dodatkowe założenia tu przyjmujesz?
20 maj 07:17
Bleee: @ABC prawa strona nakłada dodatkowe warunki o tym że a≠0 oraz b≠0 których wcześniej nie miałeś.
20 maj 07:33
ABC: ale mi chodzi o to że normalnie a/ab to się równa 1/b a nie a/b jak napisał PW
20 maj 08:09
jc: Dla a=b=2 lewa strona równa się prawej, a więc ułamek jest większy od 1/3 bo 1/3 > 2−1.
20 maj 08:11
PW: Wiem, wiem. Oszukałem − oszacowałem
 ab 1 


,
 a2 + b2 + 2 3 
co żadnym osiągnięciem nie jest. Wyświetliło mi się to przed oczami gdy poszedłem spać. ================================================================= Poprawka:
 ab 1 
u =

=

 a + b + 2 
1 1 2 

+

+

a b ab 
 
Nierówność 4 ≤ 2ab wynikającą z zastosowania nierówności między średnimi do założenia, można zapisać na dwa równoważne sposoby:
 2 
(1)

≥ 1
 ab 
 2 
(2)

2.
 ab 
Zastosowanie nierówności między średnimi i (2) daje
 1 1 2 

+


2.
 a b ab 
Wobec tego
 1 1 2 

+

≥ +

2 + 2,
 a b ab 
a więc
 1 
u ≤

= 2 − 1,
 2 + 1 
co należało udowodnić. Równość ma miejsce dla a = b = 2
20 maj 08:15
jc: (a+b)2≤(a+b)2+(a−b)2 = 2(a2+b2) = 8, a więc a+b≤22
ab 1 (a+b)2−(a2+b2) 1 (a+b)2−4 

=

*

=

*

a+b+2 2 a+b+2 2 a+b+1 
 a+b−2 22−2 
=


=2−1
 2 2 
20 maj 08:23
ABC: a to co napisałeś PW 8.15 to OK , ja tak podobnie kończyłem swoje rozwiązanie emotka
20 maj 08:51