matura Saizou : Dla maturzystów Zad 1 Pierwiastkami wielomianu w o współczynnikach całkowitych są liczby −3, −2 i −1. Wykaż, że dla dowolnej liczby naturalnej n liczb w(n) jest podzielna przez 6.

Szkolniak: Pierwiastkami wielomianu są 3 kolejne liczby całkowite, zatem jedna z nich jest na pewno podzielna przez 2 i jedna jest na pewno podzielna przez 3 − stąd liczba ta podzielna jest przez 6.

Saizou : Zad 2 Ze zbioru liczb {1, 2, ..., 2010} losujemy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że wybrana liczba nie jest podzielna przez 6 ani przez 15

Szkolniak: Obliczę zdarzeniem przeciwnym. A − wylosowanie liczby podzielnej przez 6 lub przez 15 |Ω|=2010 podzielne przez 6 6, 12, 18,... liczby te tworzą ciąg arytmetyczny o wzorze ogólnym: a_n=6n 6n≤2010 n≤335 → jest 335 takich liczb podzielne przez 15 15, 30, 45,... liczby te tworzą ciąg ar. o a_n=15n 15n≤2010 n≤134 → takich liczb jest 134 Powtarzające się liczby: 30,60,90,... To samo rozumowanie i takich liczb jest 67.

	335+134−67		1
P(A)=		=
	2010		5

	4
Prawdopodobienstwo tego że wybrana liczba nie jest podzielna przez 6 ani 15 jest równa		.
	5

Saizou : Zad 3 W stożek o wysokości 8 wpisano kulę. Punkt styczności kuli ze stożkiem podzielił tworzącą stożka w stosunku 2:3. Oblicz promień kuli.

Patryk: Szkolniak, chcesz fajne zadanko?

Szkolniak: Patryk wrzuć

Patryk: Osobiście powiem, że jest czasochłonne, sam robiłem je ze 30 min Rozwiąż nierówność 1 + log₂(sin2x) + log₂²(sin2x) + .....<0,(6) w zbiorze <0; 2π> gdzie lewa strona nierówności jest szeregiem geometrycznym zbieżnym

Patryk: Szczególnie fajna sprawa z założeniami

Adamm: 1. w(n) ≡ w(x) = 0 (mod 3), gdzie x∊{−1, −2, −3} w(n) ≡ w(x) = 0 (mod 2), gdzie x∊{−1, −2} ⇒ w(n) ≡ 0 (mod 6) zatem 6|w(n) dla każdego n∊Z

jaros: Wiem, że temat do rozwiązania jednak chciałbym się spytać, czy uważacie że matury bedą przesunięte?

Patryk: Na stówkę będą, nie ma opcji żeby odbyły sie w maju

Saizou : Patryk nie jest takie złe 1−log₂(sin(2x)) jest dodatnie

jaros: @Saizou a ty jak sądzisz?

Szkolniak: |AC|=h=8 |CD|=d=8−R zΔDEC:

	1
4x2+R2=R2−16R+64 ⇒ R=4−		x2
	4

ΔDEC~ΔBAC (cecha kkk), zatem:

	2x		8		32−4R
		=		⇒ x2=
	8−R		5x		5

	1
Podstawiamy pod 'x2' w 'R=4−		x2' i R=3.
	4

Saizou : Powiem tylko tak: Oceniając posunięcia ludzi u władzy niczego nie można być pewnym. Na tym zakończę może przypuszczenia co będzie. PS. Uczcie się tak jak by matury miałby być w terminie. I pamiętajcie: umiesz liczyć, licz na siebie

Saizou : Szkolniak w 80% dobrze, brakuje drugiego przypadku.

Szkolniak: Drugi? Jaki drugi?

Saizou : zastanów się na tym stosunkiem

jaros: Czemu |CD|=d=8−R a nie |CD|=d=8−2R?

Szkolniak: drugą opcję miałbyś gdybym ten odcinek zaznaczył od wierzchołka 'C' do tego najwyższego punktu kuli, ja zaznaczyłem do środka

Saizou : |CD|=8−|DA| Od całej wysokości odejmujesz R na dole

Szkolniak: Saizou chodzi po prostu o to że musiałbym zamienić miejscami '2x' i '3x'?

Saizou : Dokładnie a teraz zadanie Patryka

Saizou : Adamm ładnie tylko teorii pierścieni nie ma w LO

Adamm: Alternatywnie. w(n) = (n+1)(n+2)(n+3)q(n) dla pewnego wielomianu q, a 6|(n+1)(n+2)(n+3)

Szkolniak: a₁=1 ∧ q=log₂(sin2x) Założenia: |log₂(sin2x)|<1 ∧ sin2x>0 log₂(sin2x)≠−1 ∧ log₂(sin2x)≠1 ∧ sin2x>0

	π		π		π
te 3 założenia spełnione są dla: x∊<0;		)∪(		;		)
	4		4		2

1		2
	<		/*3(1−log2(sin2x))
1−log2(sin2x)		3

	1
log2(sin2x)<−		, bo (1−log2(sin2x))>0 dla x∊R
	2

	√2
sin(2x)<
	2

t=2x

	π		3
t∊<0;		)∪(		π;2π>
	4		4

	π		3		π		π		π
x∊<0;		)∪(		π;π> ∧ x∊<0;		)∪(		;		)
	8		8		4		4		2

	π		3		π
Odpowiedź: x∊<0;		)∪(		π;		)
	8		8		2

Saizou : Jak się nie kopnąłem

	π		π		3		5
x∊(		;		) ∪ (		π;		π) ∪
	12		8		8		12

	13		9		11		17
∪ (		π;		π) ∪ (		π;		π)
	12		8		8		12

Patryk: Źle, na początku... założenie wyszło nieprawidłowe

Patryk: Saizou dobrze masz

Szkolniak: I już chyba nawet wiem skąd ta głupota w założeniu.. tak to jest jak sie chce na skroty a wychodzi na to że to nie to samo

Saizou : tutaj macie rozwiązanie https://drive.google.com/file/d/1A_nN1YUJnQimGuhUTDrwqX3_4vHkM3mv/view?usp=sharing

Saizou : tutaj w wersji pdf i w lepszej jakości https://drive.google.com/file/d/14jTVngMrIaSYSI3oEkBQ2p1H8jvBMyty/view?usp=sharing

Szkolniak: Dzięki chyba rzeczywiście lepiej sobie to rysować, bo znów próbowałem bez rysunku i ciężko

Saizou : porady rysunek bardzo pomaga

Saizou : *porządny

Patryk: Jak określałeś tą dziedzinę na rysunku? Bo ja najpierw liczyłem dla 2x, później przeliczałem dla x i dopiero wtedy zaznaczałem wartości na rysunku

Saizou : Rysunek przedstawia sin2x

	1		π		π
sin t =		dla t=		→x=
	2		6		12

itd. Zad 4 Oblicz miarę kąta między stycznymi do okręgu x²+y²+2x−2y−3=0 poprowadzonymi przez punkt A=(2,0).

salamandra: −2a=2 a=−1 −2b=−2 b=1 S=(−1,1) r=√1+1+3=√5 Równanie prostej AS A=(2,0) S=(−1,1) y=ax+b 0=2a+b / *(−1) 1=−a+b 0=−2a−b 1=−a+b 1=−3a

	1
a=−
	3

	2
b=
	3

	1		2
y=−		x+
	3		3

Styczna jest prostopadła do tej prostej i przechodzi przez punkt A, więc jej współczynnik kierunkowy to: a=3 y=3x+b A=(2,0) 0=3*2+b b=6 y=3x+6 Do tej pory ok?

salamandra: A nie, ten punkt nie należy do okręgu

Patryk: Czyli, że cały czas jechałeś na wartościach dla 2x, a dopiero na końcu przy ostatecznym wyniku zamieniałeś z 2x −−−> na x? Tak mniej pisania

Saizou : Czasu na maturze Ci zabraknie MOżna prościej |AS|=... sinα=...

salamandra: Myślałem ze ten punkt leży na okręgu i dlatego tak poleciałem

Saizou : Jak zrobisz rysunek sin(2x), to masz prawie wszystko na tacy podane. zauważ, że mamy 4 warunki (3 z założeń i jedno z rozwiązania). wszystkie tyczą się sin(2x) wiec lepiej od razu go narysować.

salamandra: Skąd wynika ze AS będzie dwusieczna kata miedzy stycznymi, te styczne są symetryczne?

salamandra: Wiem ze odległość do punktu styczności jest równa na pewno,. Z tw o odcinkach stycznych

Saizou : Pokaż, że te trójkąty ABS i ACS są przystające.

salamandra: nie ma co pokazywać już jasne

Saizou : Najprostsze dowody są najtrudniejsze

Saizou : Teraz dokończ zadanie

Patryk: To trzeba nawet na maturze pokazywac ze trójkąty są przystające? Nie.mozna po prostu napisac? Przeciez jakby człowiek mial wszystko dowodzic I pokazywac na każdym kroku to czasu na maturze na bank zabraknie... zawracanie gitary

salamandra: coś w tym jest r=√5 r²+x²=|AS|² |AS|²=(−1−2)²+1²=10 |AS|=√10 5+x²=10 x²=5 x=√5 (nie wiem w sumie po co to wyliczyłem, ale niech już zostanie)

	r		√5
sinα=		=
	AS		√5

coś mi tu nie gra

salamandra: aaa, AS=√10 a nie √5

	√5		√50		5√2		√2
sinα=		=		=		=
	√10		10		10		2

więc α=45, to 2α=90

Saizou : Patryk nie trzeba, nie w takich przypadkach, bo to jest bardzo znana własność.

	r
Popraw sinα=
	AS

salamandra: Nadal źle?

Saizou : Jets okej, coś innego zobaczyłem

Saizou : Zad 5 Promień okręgu wpisanego w trójkąt o bokach 5 i 8 jest równy równy √3 , a obwód tego trójkąta jest liczbą całkowitą. Oblicz długość trzeciego boku tego trójkąta.

f123: @Saizou cos latwe zadania podrzucasz, moze wrzuce tutaj to co robilem z wredulusem dzisiaj... Moze byc ciekawie dla maturzystow

salamandra: Ja już pasuje na dziś, powodzenia f123 jutro można coś się na discordzie złapać i porobić

Saizou : f123 nie można cały czas trudnych rzeczy robić, bo się maturzyści zniechęcą.

f123: @salamandra mozna jak najbardziej, prawdopodobienstwo dalej czy poszukac ciekawrych zadan maturalnych ktore warto omowic?

Patryk: Salamandra, skąd ten nick tak w ogóle? Grało się w Wiedźmina?

Saizou : Tak swoją drogą f123 pamiętałbyś o 2 przypadku w zadaniu 3 ?

f123: @Saizou ktore to zadanie 3

Saizou : z 21:34

salamandra: f123, możesz jakieś ciekawe z tych arkuszy co robiłeś, ale tez takie nie za trudne, bo te „schematyczne” tez warto utrwalić. Patryk− szczerze? Tylko tu go używam, jak pierwszy raz na forum wszedłem to nie wiedziałem jaki ustawić, bo myślałem ze wchodzę jednorazowo... No i tak zostało

Qn: Zad 5 Korzystając ze wzoru P=1/2r(a+b+c) i wzoru Herona na pole mamy 2 √3 (c + 13) =√−(c² − 169) (c² − 9) Podnoszą do kwadratu i dzieląc przez c+13 mamy c³ − 13 c² + 3 c + 273 = 0 273:7=39 (c − 7) (c² − 6 c − 39) = 0 c=7

Saizou : jeszcze należy pokazać, że trójmian kwadratowy nie ma pierwiastków naturalnych.

Qn: Wystarczy obliczyć delte i już widac...