Liczby zespolone AHQ: Udowodnić, że |x1|−|x2| ≤ |x1−x2| ≤ |x1| + |x2| x1. x2 ∊ℂ Wybrałem najprostszy przykład jaki dostałem do zrobienia − wytłumaczy ktoś jak rozwiązuje się takie proste nierówności na liczbach zespolonych ?
25 mar 19:24
Des: x1 = x1 + y1i x2 = x2 + y2i Pierwsza część: |x1|−|x2| ≤ |x1−x2| Korzystamy z definicji modułu: (x12+y12)12 − (x22+y22)12 ≤ [ (x1−x2)2+(y1−y2)2 ]12 /2 x12+y12+y12+y22 −2[(x12+y12)(x12+y22)]12 ≤ (x1−x2)2+(y1−y2)2 −2[(x12+y12)(x12+y22)]12 ≤ −2x1x2 −2y1y2 [(x12+y12)(x12+y22)]12 ≥ x1x2 +y1y2 /2 (x12+y12)(x12+y22) ≥ x12x22+2x1x2y1y2 +y12y22 x12y22+x22y12 ≥ 2x1x2y1y2 (x1y2 − x2y1)2 ≥ 0 Drugie analogicznie
25 mar 22:52
AHQ: Skąd wzięła się linijka zaraz po ,,Korzystamy z definicji modułu:''
26 mar 12:40
Des: Lewa strona chyba jasna? |x1−x2| = |x1 + y1i − x2 − y2i| = |(x1 − x2) + (y1 − y2)i| = = [ (x1 − x2)2 + (y1 − y2)2 ]12
26 mar 16:08
Des: Oj, trochę namieszałem w indeksachemotka Mam nadzieje, że się połapiesz, w których miejscach
26 mar 16:31
Adamm: |x+y| ≤ |x|+|y| |x+y|2 ≤ |x|2+2|x||y|+|y|2 |x+y|2 = <x+y, x+y> = <x, x>+<x, y>+<y, x>+<y, y> = |x|2+2Re(xy*)+|y|2 Wystarczy zatem udowodnić Re(xy*) ≤ |x||y|. (1) 0 ≤ <x+ry, x+ry> = r2|y|2+2rRe(xy*)+|x|2 Dla y = 0 nierówność (1) jest oczywista. W przeciwnym wypadku Δ = 4(Re(xy*))2 − 4|x|2|y|2 ≤ 0.
26 mar 16:37
AHQ: Dzięki, pozapominałem o podstawowych własnościach...
26 mar 21:31