Pierwiastki równania Pochodnik: O, wybrańcy matematyki, spójrzcie na tę zagwozdkę: obliczmy liczbę pierwiastków równania:
 1 1 1 
f(x) =

+

+...+

a1,...,an różne rzeczywiste
 x−a1 x−a2 x−an 
dla f(x) =0 i f(x) = x Zamierzam policzyć pochodną. Zauważam, że po przemnożeniu licznika do wspólnego mianownika, otrzymuję: xn−1 −xn−2(a2+...an)−xn−3(a1+a3+...+an)... W każdym nawiasie brakuje jednej różnej liczby a W mianowniku otrzymamy sumę: xn+xn−1(a1+...+an)+xn−2{a1+...an)... Już wszystkie liczby a w nawiasach Jeżeli liczę pochodną, otrzymam: (n−1)xn−2 −(n−2)xn−3(a2+...an)−(n−3)xn−4(a1+a3+...+an)... ______________________________________________________ nxn−1+(n−1)xn−2(a1+...+an)+(n−2)xn−3{a1+...an)... Teraz bardzo proszę o pomoc, ponieważ pogubiłem się.
24 mar 17:42
wredulus_pospolitus: chwila ... jakie 'pierwiastki' równania chcesz liczyć Jaka konkretnie jest treść zadania
24 mar 17:54
Pochodnik: Dane są różne liczby rzeczywiste a1,...,an oraz: f(x) = (wzór powyżej) Podaj liczbę rozwiązań rzeczywistych równania a) f(x) =0 b) f(x) = x
24 mar 18:05
wredulus_pospolitus: okey a) f(x) = 0 zauważmy, na początek, że: limx−> − f(x) = 0 limx−> + f(x) = 0 bez utraty ogólności możemy założyć, że: a1 < a2 < a3 < .... < an I.
 1 
jeżeli x < a1 to

< 0 dla każdego 'i'
 x − ai 
 1 
analogicznie dla x> an mamy

> 0 dla każdego 'i'
 x − ai 
tak więc, f(x) = 0 NIE MA żadnych rozwiązań w przedziale (−, a1) u (an , +) II.
 1 
'co się dzieje' gdy jesteśmy w 'okolicach' x = a1 ; a konkretniej dla x = a1 +

 k 
 1 
limk −> +

= +
 x − a1 
 1 
natomiast f(x) −

= m (pozostałe ułamki przyjmują skończoną wartość)
 x − a1 
czyli limx −> a1+ f(x) = + natomiast limx −> a2 f(x) = − tak więc −−− mamy CO NAJMNIEJ jedno rozwiązanie w przedziale (a1 ; a2) Zastanów się jak można uargumentować, że będzie dokładnie jedno rozwiązanie w tym przedziale. Później to już z górki będzie (dla każdego przedziału będzie dokładnie jedno rozwiązanie). Więc mamy n−1 rozwiązań tego równania: f(x) = 0
24 mar 18:29
Pochodnik: Hej, a co z twierdzeniem Rolle'a? Mamy n−1 przedziałów, w których funkcja jest określona i ma pochodną, dlatego istnieje c∊(ai, ai+1), tż.: f'(c) = 0 Jednak nie wiem, jak uzasadnić dokładniej ani jak zająć się f(x) = x
24 mar 18:57
wredulus_pospolitus: A co nas pochodna obchodzi Nic a nic ... Ty szukasz miejsc zerowych. Zastanów się przez moment jakby podejść do tego patrząc na monotoniczność funkcji f(x) w każdym z tych przedziałów z osobna. To podejście dodatkowo byłoby wskazane przy (b) f(x) = x <−−− tutaj będzie n+1 rozwiązań tego równania
24 mar 19:03
wredulus_pospolitus: tak naprawdę to f(x) = ax będzie miało n+1 rozwiązań (dla dowolnego a ≠ 0)
24 mar 19:03
wredulus_pospolitus:
 1 
g(x) =

 x− ai 
g'(x) = ... co możesz powiedzieć mi o monotoniczności funkcji g(x) w przedziale (ak ; ak+1)
24 mar 19:06
Pochodnik:
 −1 
g'(x) =

< 0 −−.> Malejąca na każdym przedziale (ai, ai+1)
 (x−ai)2 
Ciągła na całej R oprócz punktów ai Monotnoniczna i ciągła na przedziałach − twierdzenie o wartości średniej lim x−>ai+ = + lim x−>ai+1+ = − Co oznacza, że w danym przedziale zmienia znak − występuje jeden pierwiastek (twierdzenie Bolzano) Zastanawiam się, jak przełożyć tę argumentację na f(x) = x
24 mar 19:53
wredulus_pospolitus: może inaczej malejąca i ciągła na przedziale (ai, ai+1) suma ciągłych i malejących funkcji jest funkcją ciągłą i malejąc. I teraz wniosek który podałeś Co do f(x) = x ... dla przedziałów (ai , ai+1) argumentacja identyczna −−− granice na krańcach to + i −, więc ZW w każdym z tych przedziałów to R <−−− więc przyjmuje przynajmniej raz wartość taką, że f(xo = xo dla xo∊(ai , ai+1) A jako, że suma ciągłych i malejących jest funkcją ciągłą i malejącą to w każdym przedziale istnieje dokładnie jedno takie xo, że f(xo) = xo pozostaje kwestia 'skrajnych przedziałów', ale tutaj mamy: g(x) = x jest funkcją ciągłą i rosnącą ... limx−> − g(x) = − ; limx−> a1 g(x) = a1 f(x) jest funkcją ciągłą i malejącą ... limx−> − f(x) = 0 ; limx−> a1 f(x) = − Więc g(x) = f(x) ma rozwiązanie w przedziale (− ; a1) z monotoniczności obu tych funkcji wynika, że ma dokładnie jedno rozwiązanie. Analogicznie dla drugiego ze skrajnych przedziałów.
24 mar 20:33
wredulus_pospolitus: Oczywiście −−− miej na uwadze, że to co piszę to tylko pomysł ... musisz to 'odpowiednio' przyprawić w słowa, twierdzenia, lematy, itd. itp..
24 mar 20:33
Pochodnik: Mam pytanie do zdania: suma funkcji ciągłych i malejących jest funkcją ciągłą i malejącą. Czy nie powinniśmy wykluczyć z dziedziny wszystkich liczb ai?
24 mar 22:04
wredulus_pospolitus: Pochodnik −−− piszę o tym tylko w ramach przedziału (ai ; ai+1) na większym przedziale np. (ai−1 ; ai+1) funkcja NIE JEST ciągła .. a jak nawet wywalimy x = ai ... to funkcja nie jest monotoniczna (malejąca)
24 mar 22:14
Pochodnik: Dzięki emotka Mógłbym prosić Cię o wyjaśnienie granic w f(x)=x?
 1 
Jeżeli dobrze pamiętam, że g(x) zdefiniowaliśmy jako

,
 x−a1 
Czy limx−>a1 g(x) = 0 Chyba do wszystkich mam wątpliwości.
24 mar 22:24
wredulus_pospolitus: w życiu
 1 1 1 
limx−> a1

= [

=

 x − a1 a1 − a1 0 
 1 
czyli

] czyli ile wynosi granica
 0.0000000000000000..01 
analogicznie dla x−> a1+
24 mar 22:27
Pochodnik: Liczba podzielona przez nieskończenie małą wielkość: . W tym przypadku z minusem. Jednak widzę, że dla g(x) lim = a1
24 mar 22:32
wredulus_pospolitus: zapisz jeszcze raz końcówkę ... bo nie rozumiem co oznacza zapis: g(x) lim = a1 i o z czym masz problem/wątpliwości
24 mar 22:34
Dobranocka: limx−>a1g(x) = ... Odniosłem wrażenie, że ustaliliśmy odpowiedź przed chwilą −, jednak w poście o 20:33 zawarłeś lim=a1 Naprawdę, bardzo dziękuję Ci wredulusie za Twoją pomoc. Czuję, że już wiem, co wydarzyło się w tej funkcji. Moje wątpliwości budzą jedynie granice. Rozumiem, że dla g(x) badamy jeden ułamek, natomiast dla f(x) − skończoną sumę ułamków. Zastanawiam się nad wartością granic.
24 mar 22:40
DobryDzień: Dzień dobry, wciąż zastanawiają mnie granice Czy nie powinno być: limx−>a1 g(x) = − limx−>− g(x) = 0 limx−>a1 f(x) = − limx−>− f(x) = 0
25 mar 06:23
wredulus_pospolitus: zauważ, że we wpisie 20:33 napisałem g(x) = x dla g(x) = x mamy limx−>ai g(x) = limx−>ai x = ai limx−> − g(x) = limx−> − x = − nieopacznie oznaczyłem funkcję 'x'
 1 
tak jak wcześniej nazwałem 'funkcję pomocniczą' postaci

 x − ai 
25 mar 09:25