Pochodna Pochodnik: Hej,mam problem ze znalezieniem ekstremów funkcji:
 x3 
f(x) = 1−x+

 x+3 
Obliczyłem pochodną:
x2(2x+9) 

− 1
 x3 
2(x+3)2

 x+3 
 
Mam problem z przyrównanie do zera −otrzymuję wielomian szóstego stopnia, który nie wygląda jak sprawa łatwa do pogrupowania 4x6+36x5+81x4 = 4x3+36x2+108x+108 4x5(x+9) = 4x2(x+9) + 9(12(x+1)−9x4) Rozważałem analizowanie tylko części bez −1, która iznaczałaby funkcję malejąca dla x<−4,5 i rosnącą dla x>4,5, jednak brakuje mi pomysłów. Prosiłbym o pomoc, utknąłem
24 mar 13:06
wredulus_pospolitus: źle utworzony wielomian
24 mar 13:27
wredulus_pospolitus:
x2(2x+9) 

= x3/(x+3) (x ∉ <−3 ; 0))
2(x+3)2 
 x3 
x4(2x+9)2 =

*4(x+3)4
 x+3 
// UWAGA Prawa = 4*x3*(x+3)3 // 4x6 + 36x5 + 81x4 = 4x6 + 36x5 + 108x4 + 108x3
24 mar 13:36
Pochodnik: Dzięęęęęki wielkie! 27x3(x−4)=0 x=0 v x=4 Funkcja maleje w (−, 0) i (4, ), rośnie w (0, 4). Maksimum lokalne w 4
 87 − 3 
(sup funkcji =

), minimum w 0 (infimum funkcji = 1), dziedzina funkcji i jej
 7 
pochodnej to x∊(−3, ) Prawidłowo?
24 mar 14:09
wredulus_pospolitus: yyyy .... nie BAAARDZO źle 1) funkcja f(x) NIE JEST określona na przedziale <−3 ; 0) więc nie może być na tym przedziale malejąca 2) 4x6 + 36x5 + 81x4 = 4x6 + 36x5 + 108x4 + 108x3 ⇔ ⇔ 0 = 27x4 + 108x3 ⇔ 27x3(x + 4)
24 mar 14:15
Pochodnik: Dzięki jeszcze większe Czyli funkcja posiada ekstremum (minimum) w 0 (inf = 1) oraz maksimum w −4 (sup = 5), dziedzinę pochodnej oraz funkcji właściwej stanowią R\<−3, 0)? Rosnąca w (−, −4) i (0, ), malejąca w przedziale (−4, −3)?
24 mar 15:00
wredulus_pospolitus: yyyyy .... nie zauważ, że a) dla x < 0 mamy: 1 − x +x3/(x+3) > x3/(x+3) limx−> − f(x) = + b) f(0) = 1 c) limx−> + f(x) < 1 (ponieważ x3/(x+3) < x3/x = x2 = x dla x>0) więc: I. funkcja nie może rosnąc 'w −' ... musi maleć II funkcja nie może (tylko) rosnąc dla x > 0 , bo f(0) > limx−> + f(x)
24 mar 15:10
wredulus_pospolitus: Teraz przez moment spójrz na obliczenia i zobacz w którym momencie zrobiliśmy 'coś' co potencjalnie "psuje" nierówność (monotoniczność), a przy równości (określenie ekstremum) nie ma tworzy problemów.
24 mar 15:12
Pochodnik: Przedstawiam swoje wyobrażenie sytuacji −4 0 \ / +\___ /+______ \__−___ / Przepraszam, nie potrafię rysować na forum wykresów. Załóż, że widzisz parabolę − minus pod wykresem.Gdzie popełniam błąd, jeżeli błędnie oceniam przedział monotoniczności? Rozumiem Twoje wyjaśnienie, bardzo dziękuję. Moi potencjalni ,,psujcy" monotoniczności to równania a lub oszacowanie c, chociaż a przedstawia się jako łatwo ,,skreślajne", jednak c sprawia wrażenie niedokładnego kroku. Mógłbyś podsumować monotoniczność? Zaczynam gubić się...
24 mar 15:31
wredulus_pospolitus: Zauważ, że przy wyznaczaniu ekstrem w pewnym monecie PODNOSIMY DO KWADRATU Co przy ekstremum jest bez znaczenia (o ile pamiętamy o dziedzinie), ale już przy monotoniczności, gdzie mamy nierówność powoduje to pewne 'komplikacje' a konkretniej zauważ, że mieliśmy:
x2(2x+9) 

... x3/(x+3)
2(x+3)2 
Prawa strona jest zawsze dodatnia ... ale Lewa Już nie koniecznie (dla 2x+9 <0 mamy Lewą < 0)
24 mar 15:39
Pochodnik: Czy poprawnie wyliczyłem ekstremum i infimum? Jak poradzić sobie z monotonicznością w przypadku przedstawionych przez Ciebie problemów? Rozumiem przedstawione przez Ciebie spostrzeżenia, jednak zaczynam motać się. Byłbym bardzo wdzięczny za pomoc.
24 mar 16:06
Pochodnik: ? emotka
24 mar 20:04
24 mar 20:09
Pochodnik: Czyli funkcja osiąga lokalne minimum w −4, lokalne maksimum w 0. Co jednak z monotonicznością i sup, inf?
24 mar 20:38
wredulus_pospolitus: w x = 0 osiąga MINIMUM lokalne już to przerabialiśmy: f(0) = 1 limx−> + f(x) < 1
24 mar 20:46
wredulus_pospolitus: tfu ... maksimum lokalne już przestaję myśleć
24 mar 20:54
wredulus_pospolitus: sup −−− patrz granice na krańcach + wartość w maksimum + granice w punktach nieciągłości inf −−− analogicznie a co do monotoniczności −−− na podstawie granic w krańcach + wyznaczonych ekstremach jesteś w stanie podać monotoniczność funkcji f(x) Malejąca w (− ; −4) oraz w (0 ; +) rosnąca w (−4 ; −3) pozostaje obliczyć dokładną wartość granicy w +
24 mar 20:57