Nierówność trójkąta Ola: Zastanawiam się czy poprawnie przeprowadziłam dowód w tym zadaniu? A jeśli tak, to może dałoby radę rozwiązać to zadanie łatwiej lub krócej? Z góry dziękuję. Długości boków dwóch trójkątów są liczbami naturalnymi, a suma ich obwodów jest równa 10. Jakie długości boków mogą mieć te trójkąty? a,b,c,d,e,f ∊ N, a+b+c+d+e+f=10 Niech 0<a≤b≤c oraz 0<d≤e≤f Z nierówności trójkąta wynika że a+b>c oraz d+e>f, a więc a+b+c>2c i d+e+f>2f ⇒ a+b+c+d+e+f>2(c+f) 2(c+f)<10 c+f<5, c,f∊N, więc c+f≤4 Z drugiej strony wiedząc, że Ob=10 z nierówności trójkąta dodatkowo wynika, że c+f=4 c+f=4⇒a+b+d+e=6 Niech c≥f c ≥ f ⇒ a+b ≥ d+e Wtedy c∊<2,3> i f∊<1,2>, a więc c=2 ⇒ a+b=3 lub c=3⇒a+b=4 f=1⇒d+e=2 lub f=2⇒d+e=3 Z tego wynika, że: c=2⇒a+b=3 i f=2⇒d+e=3 Stąd a=1, b=2, c=2, d=1, e=2, f=2 oraz c=2⇒a+b=4 i f=1⇒d+e=2 Stąd a=1, b=3, c=3, d=1, e=1, f=1 oraz a=2, b=2, c=3, de=1, e=1, f=1 Odp.:Te trójkąty mogą mieć długości: (1,2,2) i (1,2,2), (1,3,3) i (1,1,1) oraz (2,2,3) i (1,1,1)
24 mar 01:32
wredulus_pospolitus: mamy 6 niewiadomych których suma = 10 niewiadome te przyjmują wartości naturalne xa + xb + xc + xd + xe + xf = 10 ich wartość to minimum '1' (xa − 1) + (xb − 1) + (xc − 1) + (xd − 1) + (xe − 1) + (xf − 1) = 10 − 6 = 4 możemy po prostu wypisać wszystkie możliwości i sprawdzić które są trójkątami (samych możliwości za dużo nie ma): (1,1,1) ; (1,1,5) <−−− drugi nie jest trójkątem (1,1,1) ; (1,2,4) <−−− drugi nie jest trójkątem (1,1,1) ; (1,3,3) <−−− trójkąty (1,1,1) ; (2,2,3) <−−− trójkąty (1,1,2) ; (1,1,4) <−−− pierwszy nie jest trójkątem ... więc odpuszczamy wszelkie kombinacje z nim związane (1,1,3) ; (1,1,3) <−−− jak wyżej (1,1,4) ; (1,1,2) <−−− jak wyżej (1,1,5) ; (1,1,1) <−−− jak wyżej (1,2,2) ; (1,1,3) <−−− drugi nie jest trójkątem (1,2,2) ; (1,2,2) <−−− trójkąty (2,2,2) ; (1,1,2) <−−− drugi nie jest trójkątem Czy to jest szybciej ... nie wiem
24 mar 01:47