Trygonometria Marcinkiewicz: Dany jest kąt ostry α oraz wiadomo, że sinα + cosα =2 .
 1 
Oblicz wartość wyrażenia (tgα +

)3.
 tgα 
23 mar 18:34
wredulus_pospolitus: zauważ, że:
 1 sinx cosx 
tgx +

= tgx + ctgx =

+

=
 tgx cosx sinx 
 sin2x + cos2x 1 
=

=

 sinx * cosx sinx * cosx 
oraz sinx + cosx = 2 −−−> (sinx + cosx)2 = 2 −−−> sin2x + 2sinxcosx + cos2x = 2 −−−−>
 1 
−−−−> 1 + 2sinxcosx = 2 −−−−> 2sinxcosx = 1 −−−−> sinx * cosx =

 2 
czyli
 1 1 1 
(tgx +

)3 = (

)3 = (

)3 = 23 = 8
 tgx sinx * cosx 1/2 
23 mar 18:38
wredulus_pospolitus: Można to też inaczej (szybciej) rozwiązać ... ale powyższe rozwiązanie jest 'ogólnym rozwiązaniem' (dla dowolnego sinx + cosx = 'stała' )
23 mar 18:38
PW: Warto zdać sobie sprawę jak niebezpiezne jest to zadanie. Gdyby podano w zadaniu, że (1) sinx + cosx = 3, to postępując w sposób opisany przez wredulusa otrzymalibyśmy: (sinx + cosx)2 = 9 ⇒ sin2x + 2sinxcosx + cos2x = 9 ⇒ 2sinxcosx = 8 ⇒ sinxcosx = 4 i dalej
 1 1 1 1 
(tgx +

)3 = (

)3 = (

)3 =

.
 tgx sinxcosx 4 256 
Cóż, wnioskowanie poprawne, tyle że ... taki kąt x nie istnieje − nie ma kąta x spełniającego równanie (1).
23 mar 19:48