równanie maturka:
 1 4 8 
Dane jest równanie: x3+4x2+8x +

+

+

=70
 x3 x2 x 
Wykaż,że suma rzeczywistych rozwiązań tego równania jest liczbą pierwszą
23 mar 11:53
ford:
 1 1 1 
x3+

= (x+

)3 − 3(x+

)
 x3 x x 
 1 1 
x2+

= (x+

)2 − 2
 x2 x 
 1 4 8 
x3+

+ 4x2+

+ 8x+

= 70
 x3 x2 x 
 1 1 1 1 
(x+

)3−3(x+

) + 4[(x+

)2−2] + 8(x+

) = 70
 x x x x 
 1 1 1 
(x+

)3 + 4(x+

)2 + 5(x+

) − 8 − 70 = 0
 x x x 
 1 
x+

= t
 x 
t3 + 4t2 + 5t − 78 = 0 t=3 jest rozwiązaniem t2(t−3) + 7t(t−3) + 26(t−3) = 0 (t−3)(t2+7t+26) = 0 delta trójmianu jest < 0 więc zostaje t=3, więc
 1 
x+

= 3 | *x
 x 
x2 + 1 = 3x x2 − 3x + 1 = 0 delta jest dodatnia (są 2 rozwiązania rzeczywiste)
 −b 
ze wzoru Viete'a x1+x2 =

mamy x1+x2 = 3 a liczba 3 jest pierwsza
 a 
23 mar 12:03