Wyznacz wartość całki objętościowej vezro: Wyznacz wartość całki objętościowej ∭Ω(x+yz) dxdydz Ω={(x,y,z)∊R3; 0 ≤ z ≤ x2 + y2, |x| < 1, |y| < 1}
22 mar 23:09
jc: Objętość jest skończona. Obszar odpowiednio symetryczny. Funkcja nieparzysta. Całka = 0.
22 mar 23:18
vezro: Zero też mi wyszło, ale nie byłem pewien co do wyniku. A jak wygląda to w przypadku ∭Ω(xy+z) dxdydz Ω={(x,y,z)∊R3: 0 ≤ z ≤ |x + y|, |x| < 1, |y| < 1}?
 28 
Czy wynik tej całki jest równy

?
 15 
23 mar 00:41
jc: Całka =2∫−11 dx ∫−x1 dy ∫0x+y (xy+z)dz =2∫−11 dx ∫−x1 [xyz+z2/2]0x+y dy =∫−11 dx ∫−x1 [2xy(x+y)+(x+y)2] dy = ... = 4/3 ale może coś mylę.
23 mar 07:32
vezro: Obszar całkowania rozbiłem na obszary Ω1 = {(x,y,z)∊R3: −1 < x < 1, −1 < y < −x, 0 < z < − x − y}, Ω2 = {(x,y,z)∊R3: −1 < x < 1, −x < y < 1, 0 < z < x + y}. Całkowałem
 14 
−11−1−x0−x−y(xy+z) dzdydx = ... =

 15 
 14 
−11−x10x+y(xy+z) dzdydx = ... =

 15 
Czy ogólna metoda postępowania jest okej?
23 mar 10:40
jc: Tak samo liczymy. Skąd ma 5 w mianowniku?
23 mar 10:44
vezro:
 z2 
−11−x10x+y(xy+z) dzdydx = ∫−11−x1 [xyz+

]0x+y dydx =
 2 
 (x+y)2 
= ∫−11−x1 [xy(x+y)+

] dydx =
 2 
 1 1 
= ∫−11−x1 [x2y + xy2 +

x2 + xy +

y2] dydx =
 2 2 
 y2x2 xy3 xy2 x2y y3 
= ∫−11 [

+

+

+

+

]−x1 dx =
 2 3 2 2 6 
 x4 x3 5x 1 
= ∫−11 [−

+

+ x2 +

+

] dx =
 6 6 6 6 
 x5 x4 x3 5x2 x 14 
= [−

+

+

+

+

]−11 =

 30 24 3 12 6 15 
23 mar 11:30