dowód algebraiczny salamandra: Udowodnij, że dla różnych liczb rzeczywistych x,y, prawdziwa jest nierówność: x2y2+2x2+2y2−8xy+4>0 Przekształcam równoważnie x2y2+2x2+2y2−4xy−4xy+4>0 x2y2−4xy+4+2x2−4xy+2y2>0 (xy−2)2+(2x−2y)2>0 kwadrat dowolnego wyrażenia jest większy/równy zeru, więc nierówność ta jest spełniona dla każdego x,y∊R. Pierwszy nawias nie może się równać zeru, ponieważ wartosci x i y mają być różne, więc na pewno ta nierówność nie będzie równa zeru. Jest ok? I jak musiałbym to "rozegrać" jeśli skorzystałbym ze sposobu, który widziałem, że PW wielokrotnie tu przedstawiał, czyli np. y=xp gdzie p>0?
21 mar 23:00
wredulus_pospolitus: jest ok
21 mar 23:03
Saizou : po podstawieniu masz funkcję kwadratową z parametrem p. (popraw parametr, bo p∊R\{0}) Musisz pokazać, że przyjmuje ona wartości dodatnie dla dowolnego p
21 mar 23:25
salamandra: Pamiętam, że PW zawsze pisał p>0, dlatego napisałem >0 emotka
21 mar 23:26
Saizou : tak, ale zauważ, że gdyby było takie założenie, to x i y byłby tego samego znaku, a wcale tak być nie musi
21 mar 23:35
salamandra: no tak, racja, pewnie były po prostu treści, że są to dodatnie x,y emotka
21 mar 23:36
PW: Najpierw (oczywiste, ale trzeba napisać) nierówność jest spełniona gdy x = 0 lub y = 0. Można dalej zacząć od spostrzeżenia, że jeśli x i y są różnych znaków, to −8xy > 0 i nierówność jest oczywista (po lewej stronie wszystkie składniki dodatnie). Rozpatrujemy więc x i y tego samego znaku, a zatem można podstawić y = px, p>0 emotka
22 mar 11:17
salamandra: x2*p2x2+2x2+2p2x2−8x*px+4>0 p2x4+2x2+2p2x2−8px2>−4 do tego momentu ok?
22 mar 11:30
PW: Tak. Wygląda na to, że mamy nierówność "dwukwadratową" z parametrem p (niepotrzebnie przenosiłeś czwórkę na drugą stronę).
22 mar 11:39
salamandra: chciałem teraz za x4 podstawić jakieś "t", ma to sens?
22 mar 11:39
salamandra: za x2 oczwyiście
22 mar 11:39
PW: Tak.
22 mar 11:44
salamandra: x2=t t>0 p2t2+2t+2p2t−8pt+4>0 (pt−2)2+2t−4pt+2p2t>0 nie mogę tego wykombinować
22 mar 12:08
PW: Można np. udowodnić, że (*) p2t2 + 2t + 2p2t + 4 > 8pt Lewa strona na mocy nierówności między średnią arytmetyczną a geometryczną jest większa lub równa 444p2t2t2p2t = 4416p4t4 = 8pt (wykorzystaliśmy założenia p>0 i t>0). Równość miałaby miejsce, gdyby wszystkie składniki były równe, co nie jest prawdą, gdyż musiałoby być m.in. 2t = 2p2t, co oznaczałoby p = 1 wbrew założeniu, że x i y są różne. Wobec tego nierówność (*) jest prawdziwa. Trzeba powiedzieć, że tym razem metoda podstawiania y = px raczej skomplikowała rozwiązanie, a Twoje pierwsze było pewnie najlepsze z możliwych.
22 mar 12:48
salamandra: Nie znam niestety średniej geometrycznej, ale dziękuję za sprecyzowanie emotka
22 mar 12:50