matura rozszerzona, dowód Julia: wykaż, że jeśli stosunek promienia okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny do promienia okręgu opisanego na tym trójkącie jest równy 2 −1, to trójkąt ten jest równoramienny
14 lut 17:13
Blee: r −−− promień wpisanego R − promień opisanego
 2P 
r =

 a+b+c 
 c 
R =

(patrz trójkąt prostokątny wpisany w okrąg)
 2 
r a*b 2 c 

= 2 − 1 −>

=

c −

−> (*)
R a+b+c 2 2 
z tw. Pitagorasa:
 (a+b)2 − c2 (a+b−c)(a+b+c) 
a2 + b2 = c2 −> (a+b)2 − 2ab = c2 −> ab =

=

 2 2 
 (a+b−c)(a+b+c) 2 c 
(*) −>

=

c −

−>
 2(a+b+c) 2 2 
 a+b−c 2 c 
−>

=

c −

−> a+b = 2c
 2 2 2 
wracamy do tw. Pitagorasa i podstawiamy za c:
 (a+b)2 
a2 + b2 =

 2 
2a2 + 2b2 − a2 − 2ab − b2 = 0 (a−b)2 = 0 −> a = b c.n.w.
14 lut 17:25
Mila: rysunek Z. ΔABC− Δprostokątny
r 

=2−1
R 
T. ΔABC− Δprostokątny równoramienny 1) r=R*(2−1), c=2R W dowolnym Δ prostokątnym: a+b=2r+2R⇔a+b=2R2 a+b=2R2 /2 a2+2ab+b2=2*(2R)2 a2+b2=(2R)2 z tw. Pitagorasa a2+2ab+b2=2*(a2+b2)⇔a2+b2=2ab a2−2ab+b2=0⇔ (a−b)2=0⇔a=b cnw
14 lut 18:46
Eta: To jeszcze tak emotka 2R=c , 2r=a+b−c
a+b−c a b 2 2 

=2−1 ⇒

+

=2 ⇒sinα+sinβ= 2=

+

c c c 2 2 
α=β=45o −−− trójkąt prostokątny równoramienny ♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥♥
14 lut 19:03
Bleee: Etus.... Trochę za bardzo na skróty poszłaś. Brak jasne objaśnienia skąd z
 2 
sina + sinb = 2 ma wynikać ze sina = sinb =

 2 
14 lut 20:46
a@b: No to dokończę α+β=90o
 α−β 
sinα+sinβ= 2cos

 2 
 α−β 
cos

=1
 2 
α−β=0 α=β =45o
14 lut 23:52
a@b: @Blee .... teraz pasuje ?
15 lut 10:41
Julia: Bardzo wszystkim dziękuję, miłego dnia emotka
16 lut 13:34