Maturalki Saizou : Tym razem trygonometria Zad 1 Wyznacz wartość sin 19° w zależności od a = cos 26°. Zad 2 Oblicz wartość wyrażenia cos 35°•cos40°+cos 130°•sin 395°, nie korzystjąc z tablic ani kalkulatora. Zad 3
 sin x(tg x + sin x) 
Wyznacz dziedzinę funkcj f(x) =

.
 cos x(1 + sin x) 
Uzasadnij, że przyjmuje ona tylko wartości nieujemne. Zad 4 Dla jakich wartości parametru a równanie |3−4sin2x|=a2+3 jest sprzeczne. Zad 5 Sprawdź, czy równość cos4x + sin4x = 1 −sin2(2x) jest tożsamością trygonometryczną. Zad 6 Wyznacz wszystkie liczby x należące do przedziału <0; 3π> i spełniające równanie 2 + cos(2x) = 5sinx Zad 7 Rozwiąż równanie sin(6x) + cos(3x) = 2sin(3x) + 1 w przedziale (0; 2π) Zad 8 Oblicz sumę pięćdziesięciu najmnniejszych dodatnich liczb spełniających równanie sin(4πx)=1
14 sty 16:10
salamandra: Mógłbyś wytłumaczyć 1−sze? Bo nie rozumiem, "w zależności od a= cos 26"
14 sty 17:26
Saizou : Wiesz, że cos 26=a i na tej podstawie masz przedstawić sin19 np. cos 15 =a i szukasz sin215 sin215=1−cos215=1−a
14 sty 17:32
janek191: sin2 15o= 1 − a2 emotka
14 sty 17:39
Saizou : cyfrówka
14 sty 17:41
salamandra: hm, a np. sin19 = sin(45−26) i wzór sin(α−β) i coś z tego kombinować?
14 sty 18:02
Saizou : To już masz prawie koniec
14 sty 18:04
salamandra: bo chodzi o to, żeby po prostu w wyniku została stała "a"? tak?
14 sty 18:05
Saizou : Tak
14 sty 18:06
Szkolniak: Zadanie 6 2+cos2x=5sinx, x∊<0;3π> 2+1−2sin2x=5sinx 2sin2x+5sinx−3=0 t=sinx, t∊<−1;1> 2t2+5t−3=0 Δ=49=72
 1 
t1=−3∉<−1;1> v t2=

∊<−1;1>
 2 
 1 
sinx=

 2 
 π  
x=

+2kπ v x=

+2kπ, k∊ℤ
 6 6 
 π 5 13 17 
x∊{

,

π,

π,

π}
 6 6 6 6 
14 sty 18:25
Saizou : emotka
14 sty 18:28
Szkolniak: Zadanie 8 sin(4πx)=1
 π 
4πx=

+2kπ, k∊ℤ
 2 
 k 1 
x=

+

 2 8 
 5 1 
Rozwiązania tego równania tworzą ciąg arytmetyczny (an), w którym a1=

i r=

 8 2 
 5 49 201 
stąd: a50=a1+49r=

+

=

 8 2 8 
 5 201 103 
więc: S50=25*(

+

)=25*

 8 8 4 
 2575 
S50=

 4 
14 sty 18:37
salamandra:
 2 2 
sin(45−26) = sin45*a−cos45*sin26 =

*a−

*sin26 , to tyle?
 2 2 
14 sty 18:38
Saizou : @salamandra jeszcze pozbyć trzeba się sin26
 5 
@Szkolniak czy aby na pewno a1=

, jest najmniejszym dodatnim rozwiązaniem?
 8 
14 sty 18:42
salamandra: W jaki sposób?
14 sty 18:47
Szkolniak:
 1 1 1 49 197 
(a1=

∧ r=

) ⇒ a50=

+

=

 8 2 8 2 8 
 99 2475 
S50=25*

=

 4 4 
14 sty 18:47
Saizou : jedynka trugonometryczna
14 sty 18:47
Saizou : Teraz dobrze
14 sty 18:50
salamandra: 1−a2= sin226 1−a2 = sin26?
14 sty 18:52
Saizou : Tak emotka
14 sty 18:54
Szkolniak: Zadanie 5 L=sin4x+cos4x=sin4x+2sin2xcos2x+cos4x−2sin2xcos2x=(sin2x+cos2x)−2sin2xcos2x= =1−2sin2xcos2x sprawdzam czy: L1=2sin2xcos2x=sin2(2x)=P1 2sin2xcos2x=4sin2xcos2x L1≠P1, zatem nie jest to tożsamość jest okej?
14 sty 18:54
Saizou : Zapis trochę dziwny
 1 
L=...=1−2sin2xcos2x=1−

sin2(2x)≠1−sin2(2x)=P
 2 
14 sty 18:59
salamandra: Muszę zostawić postać pod pierwiastkiem czy można to jeszcze jakoś wyciągnąć?
14 sty 19:02
Saizou : Postać z pierwiastkiem jest dobra
14 sty 19:03
salamandra: Może głupie pytanie, ale czemu nie można zrobić 1−a?
14 sty 19:04
Szkolniak: 1−a21a2
14 sty 19:05
Szkolniak: Zadanie 4 niech y=sin2x będzie naszą podstawową funkcją, jej zbiorem wartości jest przedział <0;1> przekształcamy kolejno wzór funkcji f: −4sin2x → <−4;0> −4sin2x+3 → <−1;3> |−4sin2x+3| → <0;3> zatem równanie |3−4sin2x|=a2+3 jest sprzeczne wtedy, gdy: a2+3>3 v a2+3<0 a2>0 v (a−3)(a+3)<0 a∊R\{0} v a∊(−3;3) a∊R Równanie jest sprzeczne dla a∊R. I jak?
14 sty 19:20
Saizou : źle, a2+3 < 0 → takie a nie istnieje zatem... a=0
14 sty 19:30
salamandra: 2. cos 35°•cos40°+cos 130°•sin 395° = cos35*cos40−cos50*sin35=cos35*sin50−cos50*sin35 = = sin50*cos35−cos50*sin35 = sin(50−35) = sin15
 2 3 2 1 
sin15 = sin(45−30) = sin45*cos30−cos45*sin30 =

*


*

=
 2 2 2 2 
 6 2 62 
=


=

 4 4 4 
14 sty 19:37
Saizou : emotka
14 sty 19:39
salamandra: W 3−cim skupiam się na mianowniku który ≠ 0?
14 sty 19:41
Saizou : emotka, to pierwsza część zadania + założenie co do tangensa
14 sty 19:50
salamandra: mianownik: cosx(1+sinx) = cosx+cosxsinx cosx+cos(x)sin(x) ≠ 0 cosx(1+sinx) ≠ 0 1) cosx≠0 i 2) 1+sinx ≠ 0 1) cosx≠ 0
 π 
x≠

+kπ, k∊C
 2 
2) sinx ≠ −1
 3 
x≠

π+2kπ
 2 
 π 
cz. wspólna: x≠

+kπ, k∊C
 2 
14 sty 19:54
Saizou :
 π 
Czyli dziedzina to R\{

+kπ} dla k∊Z
 2 
14 sty 19:57
salamandra: A co z tym tangensem?
 π 
x≠

+kπ
 4 
14 sty 19:58
salamandra:
π 

, sory.
2 
14 sty 19:58
Saizou : tutaj akurat założenia się pokrywają, bo
 sinx 
tgx=

i masz założenie cosx≠0
 cosx 
14 sty 20:18
Szkolniak: Saizou racja, to a2+3<0 z rozpędu emotka Zadanie 4 sin(6x)+cos(3x)=2sin(3x)+1, x∊(0;2π) 2sin3xcos3x+cos3x−2sin3x−1=0 cos3x(2sin3x+1)−(2sin3x+1)=0 (2sin3x+1)(cos3x−1)=0
 1 
sin3x=−

v cos3x=1
 2 
 7 11 
x=

π+2kπ v x=

π+2kπ v x=2kπ, k∊ℤ
 6 6 
 7 11 
x∊{

π,

π}
 6 6 
14 sty 20:18
salamandra: Czyli to koniec 3−ciego?
14 sty 20:21
Saizou : popraw rozwiązania, bo tam coś pomieszałeś przy dzieleniu
14 sty 20:22
Saizou : jeszcze 2 cześć, pokazać, że ta funkcja przyjmuje tylko wartości nieujemne
14 sty 20:23
Szkolniak: zapomniałem podzielić zad4*
 7 11 
3x=

π+2kπ v 3x=

π+2kπ v 3x=2kπ
 6 6 
 7 2 11 2 2 
x=

π+

kπ v x=

π+

kπ v x=

kπ, k∊ℤ
 18 3 18 3 3 
 7 11 2 19 23 4 31 35 
x∊{

π,

π,

π,

π,

π,

π,

π,

π}
 18 18 3 18 18 3 18 18 
14 sty 20:31
Saizou : i teraz jest dobrze
14 sty 20:37
salamandra: Szkolniak tak zasuwa, to zrobię to 7−me Rozwiąż równanie sin(6x) + cos(3x) = 2sin(3x) + 1 w przedziale (0; 2π) sin(6x)+cos(3x) = 2sin(3x)+1 / : 2
1 1 1 

*sin(6x)+

*cos(3x) = sin(3x)+

2 2 2 
sin sin(6x)+sin(π−3x) = 2sin(3x)+1 2sin(3x)cos(3x)+cos(3x) = 2sin(3x)+1 cos(3x)(2sin(3x)+1) = 2sin(3x)+1 cos(3x)(2sin(3x)+1)−(2sin(3x)+1) = 0 (2sin(3x)+1)(cos3x−1) = 0 2sin(3x)+1 = 0 v cos3x−1 = 0 1) 2sin(3x)+1 = 0 2sin(3x) = −1 / : 2
 −1 
sin3x =

 2 
 −π π 
3x =

+2kπ / :3 lub 3x = π+

+2kπ / : 3
 6 6 
 −π 2 7 2 
x =

+

kπ lub x =

π+

 18 3 18 3 
2) cos3x−1 = 0 cos3x = 1 3x = 2kπ / : 3
 2 
x =

 3 
 −π 2 
1) x =

+

 18 3 
 7 2 
2) x =

π+

 18 3 
 2 
3) x =

 3 
wszędzie k∊C sprawdzam k=0
 −π 
1)

∉ do przedziału
 18 
 7 
2)

π ∊ do przedziału
 18 
3)0 ∉ do przedziału k= 1
 11π 
1)

∊ do przedziału
 18 
 19 
2)

π ∊ do przedziału
 18 
 2 
3)

π ∊ do przedziału
 3 
k=2
 23π 
1)

∊ do przedziału
 18 
 31 
2)

π ∊ do przedziału
 18 
 4 
3)

π∊ do przedziału
 3 
k=3
 35π 
1)

∊ do przedziału
 18 
 43 
2)

π ∉ do przedziału
 18 
3) 2π∊ do przedziału
 7 11π 19 2 23π 31 4 
Odp. x∊{

π,

,

π,

kπ,

,

π,

kπ,
 18 18 18 3 18 18 3 
 35π 

, 2π}
 18 
14 sty 20:41
salamandra: sory, 2π już nie należy, bo przedział otwarty.
14 sty 20:42
Saizou : @salamandra możesz walczyć z tym zadaniami, nie ważne że są już rozwiązanie Zadanie 2 z planimetrii czeka http://matematyka.pisz.pl/forum/395657.html
14 sty 20:43
salamandra: Pierwszych paru linijek nie czytajcie, bo tam coś kombinowałem na początku i zapomniałem usunąć
14 sty 20:43
Saizou : na zdrowie emotka
14 sty 20:49