aksjomat Wolfik: Uzasadnij, że dla dowolnych dodatnich liczb a i b prawdziwa jest nierówność
 a3 b3 

+

≥a2+b2
 b a 
mogę tak zostawić?
a4b+b4a a3b+ab3 


ab ab 
ab(a3+b3 ab(a2+b2 


ab ab 
a3+b3≥a2+b2 CND
13 sty 14:35
salamandra:
 1 
No tak średnio, bo jak wstawisz ułamek, np.

to zobacz co sie stanie
 2 
13 sty 14:38
jc: Wolfik, na prawdę miałeś pokazać, że a3+b3 ≥ a2+b2? Tak zrozumiałem skrót CND. Skąd wziąłeś drugą nierówność?
13 sty 14:40
Wolfik: przenoszę wszystko na lewo: a3−a2+b3−b2≥0 a2(a−1)+b2(b−1)≥0?
13 sty 14:44
Saizou :
a3 b3 

+

≥a2+b2 /ab, bo a, b >0 i nie muszę zmieniać kierunku nierówności
b a 
a4+b4≥a3b+ab3 a4+b4−a3b−ab3≥0 a3(a−b)−b3(a−b)≥0 (a−b)(a3−b3)≥0 dokończ
13 sty 14:47
Szkolniak: a,b>0 Przekształcam równoważnie:
a3 b3 

+

≥a2+b2 /*ab
b a 
a4+b4≥a3b+ab3 a4−ab3+b4−a3b≥0 a(a3−b3)−b(a3−b3)≥0 (a3−b3)(a−b)≥0 (a−b)(a2+ab+b2)(a−b)≥0 (a−b)2≥0, bo ⋀(a2+ab+b2>0) a,b>0 Kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest liczbą nieujemną, zatem powyższa nierówność jest zawsze spełniona.
13 sty 14:47
Wolfik: co zrobiłem źle? a2(a−1)+b2(b−1)≥0 z tego nie wynika, że jest to≥0?
13 sty 14:50
Saizou : Jakieś uzasadnienie dlaczego ma to być prawdą?
13 sty 15:03
Wolfik: skoro a,b>0 to lewa strona nie może być mniejsza od zera, może być tylko <0 lub =0
13 sty 15:07
Saizou : Tego nie widać z Twojej postaci. Z całym szacunkiem, mówisz coś takiego: Ten napój w szklance jest biały wiec musi być mlekiem
13 sty 15:08
salamandra: skąd wiesz, że a−1 > 0?
13 sty 15:15
Wolfik: nie wiem tego, wiem tylko, że nie może być mniejsze od zera... czyli żeby udowodnić ≥ albo ≤ nie wystarczy założenie, że jak w moim przypadku lewa strona nie będzie mniejsza od zera, muszę to dokładnie pokazać już chyba rozumiem, dziękuję znów
13 sty 15:19
Szkolniak:
a3 b3 a4b+b4a 

+


b a ab 
13 sty 15:21
salamandra: a−1 może być mniejsze od zera
13 sty 15:23
Wolfik: a to, że a i b są dodatnie nie wyklucza tego?
13 sty 15:26
salamandra:
 1 
tak jak ci powiedzialem wcześniej − wstaw np. za a =

jest dodatnie? jest, więc (a−1) =
 2 
 −1 

< 0
 2 
13 sty 15:33
Wolfik: no tak...
13 sty 15:36
PW: Można podstawić b = pa, p > 0, wówczas
a3 b3 a2 

+

=

+ p3a2
b a p 
i nierówność ma równoważną postać
 a2 

+ p3a2 ≥ a2 + p2a2
 p 
1 

+ p3 ≥ 1 + p2
p 
1 + p4 ≥ p + p3 p4 − p3 ≥ p − 1 p3(p − 1) ≥ (p − 1). Zarówno dla p∊(0, 1) jak i dla p∊(1,) nierówność jest oczywista.
13 sty 18:33