Cosinus kąta rozwarcia stożka Paweł: Cześć, mam problem z tym zadaniem: W stożek o promieniu podstawy długości 4 wpisano kulę o promieniu 2. Wyznacz cosinus kąta rozwarcia stożka.
12 sty 10:08
xyz: rysunek kat ktorego szukamy to 2*α Oznaczmy wierzcholki te po prawej jako A,C oraz punkt stycznosci do ramienia jako B wtedy trojkaty ABS i BCS sa podobne (kkk) odcinek |BC| wynosi 4 bo idac z dowolnego punktu do punktow stycznosci okregu to odleglosci od tego punktu do tych punktow stycznosci sa takie same. zatem mozemy ulozyc proporcje
|AB| |AD| 

=

|BS| |DC| 
niech |AD| = h (wysokosc tego trojkata) niech |AB| = x |BS| = 2, |DC| = 4
x h 

=

−−> h = 2*x
2 4 
i teraz z pitagorasa w trojkacie ADC |AD|2 + |DC|2 = |AC|2 h2 + 42 = (4+x)2 (2*x)2 + 42 = (4+x)2 4x2 + 16 = 16 + 8x + x2 3x2 − 8x = 0 x(3x−8) = 0
 8 
x = 0 ∉ D lub 3x−8 = 0 −−−> x =

 3 
 8 20 
w takim razie |AC| = 4+x = 4 +

=

 3 3 
czyli
 4 12 3 
sin α =

=

=

 
20 

3 
 20 5 
α ≈ 37o zatem kat rozwarcia stozka = 2*α = 74o
12 sty 10:33
xyz: poprawka trojkaty ABS i ADC sa podobne (kkk)
12 sty 10:34
Paweł: Dzięki bardzo
12 sty 10:37
a@b: rysunek W zadaniu mamy podać dokładną wartość cos2α ( a nie przybliżoną miarę kąta) ====================================== Proponuję tak : ( jeden ze sposobów) W ΔDOB : |OB|=25 to sin (β/2)=1/5 i cos(β/2)=2/5 w ΔOEC : sinβ= cosα to cosα=2sin(β/2)*cos(β/2) ⇒ cosα=4/5 zatem cosinus kąta rozwarcia stożka: cos(2α)= 2cos2α−1 = .........
 7 
cos(2α)=

 25 
============= i po ptokach emotka
12 sty 12:35
xyz: sin α = 3/5 cos(2α) = cos2α−sin2α = 1 − 2sin2α = 1 − 2 * (3/5)2 = 1−18/25 = 7/25
12 sty 17:48
a@b: emotka
12 sty 17:57