Planimetria Saizou : Dalszy ciąg zmagań Zad 1 Stosunek długości podstaw trapezu równoramiennego wynosi 5:3. Przekątna trapezu ma długość 65, a jego ramię jest równe 52. Oblicz długości podstaw oraz pole tego trapezu. Czy w ten trapez można wpisać okrąg? Zad 2 W okrąg wpisano trapez o wysokości h. Kąt między promieniami okręgu poprowadzonymi do końców jednego z ramion trapezu jest równy 2α. Wykaż, że pole tego trapezu wyraża się wzorem
 h2 
P=

 tgα 
Zad 3 Oblicz pole rombu, jeżeli jedna z jego przekątnych ma długość 8, a promień okręgu wpisanego w ten romb jest równy 23 Zad 4 Stosunek boków równoległoboku wynosi 4:5, a jego obwód jest równy 18 cm. Oblicz cosinus kąta ostego tego równoległoboku, jeżeli krótsza przekątna ma 6 cm. Zad 5 Przekątna trapezu równoramiennego ma długość 27 cm, a jego obwód jest równy 16 cm. Oblicz długości boków trapezu, jeżeli wiadomo, że w ten trapez można wpisać okrąg.
10 sty 22:28
a@b: Wreszcie emotka...moja ukochana planimetria
10 sty 22:32
Saizou : Specjalnie dla Ciebie emotka
10 sty 22:33
a@b: Pozwolę ....... wykazać się maturzystom emotka
10 sty 22:34
Szkolniak: rysunekZadanie 1 a − ramię trapezu a=52 d − przekątna trapezu d=65 h − wysokość trapezu b − górna podstawa c − dolna podstawa h2+9x2=d2 ∧ h2+x2=a2 h2=65−9x2 ∧ h2=50−x2 stąd: 65−9x2=50−x2
 15 15 30 
15=8x2 ⇒ x2=

⇒ x=

⇒ x=

 8 22 4 
 330 
b=3x=

 4 
 530 
a=5x=

 4 
h (z twierdzenia Pitagorasa) h2=a2−x2
 15 
h2=50−

 8 
 385 
h2=

 8 
 385 770 
h=

⇒ h=

 22 4 
P − pole trapezu
 1 
P=

*(a+b)*h
 2 
 1 730 770 70231 35231 
P=

*

*

=

=

 2 4 4 32 16 
okrąg możemy wpisać wtedy, gdy a+a=8x: 2a=8x a=4x
 530 30 

=4*

 4 4 
 530 

30, zatem nie można w niego wpisać okręgu
 4 
10 sty 22:48
Saizou : Pierwszy Pitagoras do poprawki
10 sty 22:50
Szkolniak: rzeczywiście, (4x)2 emotka wtedy x=1, górna podstawa 3, dolna 5, wysokość 7, pole 28 i nie można wpisać w niego okręgu, bo 102≠8
10 sty 22:55
Saizou : i rachunki przyjemniejsze
10 sty 22:56
Mila: Błąd: Powinno być: 50=h2+x2 65=h2+16x2
10 sty 22:57
a@b: rysunek dwa razy z Pitagorasa h2=65−16a2 i h2=50−a2 to 15a2=15 ⇒ a=1 |AB|=5 , |CD|=3 i h=7
10 sty 23:04
a@b:
 a+b 
|AE|=

 2 
 a+b 
P=

*h= 4a*h=28
 2 
10 sty 23:09
Szkolniak: rysunekZadanie 4 L − obwód rownoległoboku L=18 L=18x 18x=18 ⇒ x=1 d − krótsza przekątna równoległoboku liczymy pole ΔADB na dwa sposoby:
 5h 
1) P=

 2 
 15 5 3 7 1575 157 
2) P=

*

*

*

=

=

 2 2 2 2 16 4 
zatem:
 5h 157 

=

 2 4 
 37 
10h=157 ⇒ h=

 2 
liczymy pole równoległoboku na dwa sposoby:
 37 157 
1) P=5x*h=5*

=

 2 2 
2) P=a*b*sinα=20*sinα zatem:
 157 

=20*sinα
 2 
 37 
157=40*sinα ⇒ sinα=

 8 
z jedynki trygonometrycznej:
 63 
cos2α=1−

 64 
 1 
cos2α=

 64 
 1 1 
|cosα|=

⇒ cosα=

(ujemne rozwiązanie odrzucamy, ponieważ α∊(0o;90o))
 8 8 
10 sty 23:32
a@b: rysunek z tw. kosinusów
 42+52−62 
cosα=

= ........
 2*4*5 
 1 
cosα =

 8 
10 sty 23:40
a@b: @ Szkolniak Na maturze zabraknie Ci czasu na takie ( rozwlekłe rozwiązania emotka
10 sty 23:43
Szkolniak: Właśnie czasami ciężko mi jest dostrzec najbardziej optymalną metodę.. Chociaż czy to naprawdę jest zadanie z roszerzenia?
10 sty 23:47
a@b: emotka
10 sty 23:51
a@b: Nie ważne czy podstawa czy rozszerzenie Ważne jest krótkie rozwiązanie ! emotka
10 sty 23:53
a@b: Dawaj zad2 ma być krótkie rozwiązanie emotka
10 sty 23:55
Szkolniak: Trapez wpisany w okrąg zawsze będzie równoramienny, prawda?
11 sty 00:05
a@b: rysunek 1/ rys. 2/ Napisz komentarze : jaki to musi być trapez, co powiesz o kącie BAC
 a+b 
|AB|=

−−− dlaczego
 2 
wyznacz |AE| z f. tryg. 3/ P=..... i po ptokach c.n.w.
11 sty 00:12
a@b: tak ( i to odp na 2/
11 sty 00:13
a@b: Sorry poprawiam chochlika
 a+b 
|AE|=

 2 
11 sty 00:14
Szkolniak: rysunekW takim razie kiedy narysowalibyśmy trapez wpisany w okrąg moim sposobem, a kiedy Twoim? I czy moja interpretacja tego zadania mogłaby być prawidłowa? (β=2α)
11 sty 00:18
Szkolniak: rysunekβ=2α
 (a+b)h 
P=

 2 
 h 
tgα=

 
a+b 

2 
 
 2h 2h 
tgα=

⇒ a+b=

 a+b tgα 
 1 h h2 
P=

*2*

*h=

, cnw.
 2 tgα tgα 
Teoretycznie chyba też dało radę emotka
11 sty 00:41
a@b: Dokładnieemotka Wniosek: nie jest ważne jak narysujesz ten trapez
11 sty 00:44
Szkolniak: No i pięknie Starczy na dziś, też nie ma co zabierać innym przyjemności emotka
11 sty 00:48
a@b: Pora spać emotka Dobranoc
11 sty 00:48
Saizou : Zad 4 jest z rozszerzenia, ponieważ na podstawach nie ma tw. cosinusów
11 sty 10:34
a@b: rysunek Zad3 P=323 ======
11 sty 14:46
Saizou : Zapraszam dalej @Szkolniak nie ma co zostawiać innym Zadań mamy mnóstwo
11 sty 15:52
Szkolniak: Już się robi emotka
11 sty 16:06
Szkolniak: rysunekd=27 l − obwód trapezu l=16 l=a+b+2c stąd: c=4 w trapez można wpisać okrąg, zatem a+b=2c h z twierdzenia Pitagorasa:
 a+b 
h2=d2−(

)2
 2 
h2=28−16 ⇒ h=23
 (a−b)2 
a+b=8 ∧

=c2−h2
 22 
(a−b)2=4(16−12) ⇒ a−b=4
a+b=8  
a−b=4
a=6 ∧ b=2
11 sty 16:23
Saizou : Zad 6 Bok kwadratu ABCD ma długość 2. Na bku BC obrano punkt E, a na boku CD punkt F, taki że
|CE| 

=2. Przyjmując że |DF|=x, oblicz wartość x, dla której pole trójkąta AEF
|DF| 
jest najmnejsze. Zad 7 W trójkącie prostokątnym ABC przyprostokątne AC i BC mają długości odpowiednio 12 i 9. Na boku AB wybrano taki punkt D, że odcinki BC i BD są równe. Oblicz cosinus kąta BCD, promień okręgu wpisanego w trójkąt BCD i promień okręgu opisanego na tym trójkącie. Zad 8 Przekątna trapezu równoramiennego ma długość d i jest nachulona do dłuższej podstawy pod kątem α. Wykaż, że
 1 
a) pole tego trapezu wyraża sie wzore P=

d2sin(2α)
 2 
b) jeżeli w ten trapez można wpisać okrąg, to obwód tego trapezu jest równy 4d•cosα
11 sty 16:26
Szkolniak: rysunekZadanie 6 a=2 h=2−2x g=2−x PΔAEF=Pkw−PΔABE−PΔECF−PΔFDA PΔAEF=4−2+2x−x(2−x)−x PΔAEF=x2−x+2 niech P(x)=x2−x+2, x∊D=(0;1)
 1 
a=1>0, zatem wartość największa przyjmowana jest w x=

∊D
 2 
11 sty 16:44
Saizou : emotka
11 sty 16:49
Szkolniak: rysunekad a
 (a+b)h 
P=

 2 
 h 
sinα=

⇒ h=d*sinα
 d 
 
a+b 

2 
 
cosα=

⇒ a+b=2d*cosα
 d 
 1 1 
P=

*2d*cosα*d*sinα=

*d2*sin2α, cnw.
 2 2 
ad b w trapez można wpisać okrąg, zatem a+b=2c l − obwód trapezu l=a+b+2c=4c
 a+b 
cosα=

 2d 
 c 
cosα=

⇒ c=d*cosα
 d 
a więc l=4d*cosα, cnw. nikt nie bierze to ja dokończę emotka
11 sty 23:44
Szkolniak: rysuneknie wiem jak dalej to ugryźć wyznaczyłem wszystkie kąty za pomocą α i próbowałem z twierdzenia sinusów, ale coś nie mogę złapać żadnej zależności odpowiedniej
12 sty 00:06
a@b: rysunek
 3 4 
|AB|=15 cosβ=

i sinβ=

 5 5 
to sin(β/2)= cosγ
 5 
1−cosβ= 2sin2(β/2) ⇒ ......... sin(β/2)=

 5 
 5 
zatem cos(∡BCD)=

 5 
==============
 95 
WΔDBE : x=9*sin(β/2) ⇒x=

 5 
 185 
to |DC|=2x=

 5 
z tw. sinusów
 x 95 
R=

⇒ R=

 sinβ 4 
============
 1 
P(ΔBCD)=

*9*9*sinβ
 2 
 162 
P=

 5 
 2P 
r=

⇒ r=.................
 9*9+2x 
 18 
r=

 5−5 
========== Można jeszcze ( jak wymagają .... usunąć niewymierność z mianownika Ładne zadanko emotka
12 sty 01:20
a@b: @Saizou Czy takie są odpowiedzi ? Mam nadzieję,że się nie pomyliłam ( o tak późnej porze) emotka
12 sty 01:29
Saizou : na zdrowie Eta emotka bardzo ładnie Szkolniak
12 sty 10:15