wykaz ze matura probna Gangster: 3x3 + 3y3 > 2x2y + 2xy2 wykaz ze dana rownosc zachodzi dla kazdych liczb dodatnich x,y Czy jesli doszedlem do postaci (x+y)[3(x−y)2 +xy]>0 jest to wystarczajacy dowod? Dodatkowo opisałem to jako Iloczyn liczby dodatniej i sumy dwoch liczb z ktorych jedna jest dodatna a druga nieujemna jest zawsze liczba dodatnia. Jak bedzie punktowane to na maturze?
9 sty 20:45
PW: Nie wymyśliłbym tego. Aż sprawdzę: (x+y)[3(x−y)2 + xy] = (x + y)(3x2 + 3y2 − 5xy) = 3x3 + 3xy2 − 5x2y + 3x2y + 3y3 − 5xy2 = 3x3 + 3y3 + xy(3x − 5x +3x − 5y) = 3x3 + 3y3 + xy(−2x − 2y) = = 3x3 + 3y3 − 2x2y − 2xy2 Rzeczywiście! Dowód jest poprawny. W takich wypadkach (kiedy mamy do czynienia z nierównością dwóch zmiennych) staram się spraowadzić do nierówności jednej zmiennej, co tutaj jest szczególnie łatwe. Skoro obie liczby x i y są dodatnie, to można oznaczyć y = px, gdzie p > 0. Wówczas badana nierówność przyjmie postać 3x3 + 3(px)3 > 2x2(px) + 2x(px)2 i dalej równoważną 3x3 + 3p3x3 > 2px3 + 2p2x3 3 + 3p3 > 2p + 2p2 3(p+1)(p2−p+1) > 2p(p+1) (dzielenie przez (p+1) > 0 daje nierówność równoważną) 3(p2 − p + 1) > 2p 3p2 − 5p + 3 > 0 Jest to nierówność kwadratowa, w której wyróżnik Δ = 25 − 36 < 0 i współczynnik przy p2 jest dodatni, a więc jest spełniona dla wszystkich p, co oznacza prawdziwość badanej nierówności.
9 sty 22:28
ite: o, jaki prosty i uniwersalny sposób emotka
10 sty 10:24