Zadanie z czynników całkujących: Benek: Zadanie z czynników całkujących: ydx +(x−2x2y3)dy=0
18 gru 19:21
Blee: no i
18 gru 19:28
Benek: Nie wiem jak rozwiązaćemotka
18 gru 19:30
Blee: 1) Jaki rodzaj równania różniczkowego tutaj masz
18 gru 19:32
Blee: masz nawet podaną metodę z której masz skorzystać ... więc w czym problem
18 gru 19:33
Mariusz: ydx +(x−2x2y3)dy=0 ydx=−(x−2x2y3)dy
 dy 
y=−(x−2x2y3)

 dx 
dy y 

=

dx 2x2y3−x 
dy y 

=

dx x(2xy3−1) 
dy y1 

=


dx x2xy3−1 
u=xy3
du dy 

=y3+3xy2

dx dx 
 dy du 
3xy2

=

−y3
 dx dx 
 dy du u 
3xy2

=


 dx dx x 
dy y1 

=


dx x2xy3−1 
 dy 3xy31 
3xy2

=


 dx x2xy3−1 
du u 3u1 


=


dx x x2u−1 
du u 3u1 

=

+


dx x x2u−1 
du u 3 

=

(1+

)
dx x 2u−1 
du u2u+2 

=


dx x2u−1 
du 2(u+1)u 

=


dx x2u−1 
2u−1du 2 


=

u(u+1)dx x 
2u−1 2 

du =

dx
u(u+1) x 
3u−(u+1) 2 

du=

dx
u(u+1) x 
 3 1 2 
(


)du=

dx
 u+1 u x 
3ln|u+1|−ln|u|=2ln|x|+C1 ln|(u+1)3|−ln|u|=ln|C2x2|
 (u+1)3 
ln|

|=ln|C2x2|
 u 
(u+1)3 

=C2x2
u 
(u+1)3 

=C2
ux2 
(xy3+1)3 

=C2
xy3x2 
(xy3+1)3 

=C2
x3y3 
 xy3+1 
(

)3=C
 xy 
Równanie jest z tych jednorodnych Czynnika całkującego jeszcze nie liczyłem
22 gru 09:11
Mariusz: Jeśli chodzi o czynnik całkujący to szukaj tego o rozdzielonych zmiennych
22 gru 09:34
Mariusz: Inny sposób szukania czynnika całkującego ydx +(x−2x2y3)dy=0 u = x v = xy3 x = u
 v 
y3=

 u 
P(x,y) = y Q(x,y) = x−2x2y3 x = u
 v1/3 
y=

 u1/3 
v1/3 v d 

*1+(u−2u2

)

(v1/3u−1/3)
u1/3 u du 
 v d 
v1/3}{u1/3*0+(u−2u2

)

(v1/3u−1/3)
 u dv 
v1/3 1 

+(u−2uv)(−

v1/3u−1/3u−1)
u1/3 3 
 1 
(u−2uv)(

v1/3u−1/3v−1)
 3 
v1/3 u−2uv v1/3 u−2uv 

(1−

)du+

(

)dv=0
u1/3 3u u1/3 v 
v1/33u−u+2uv v1/3u−2uv 


du+


dv=0
u1/33u u1/3v 
v1/32+2v v1/31−2v 


du+u


dv=0
u1/33 u1/3v 
v1/32+2v 1−2v 


du+v1/3u2/3

dv=0
u1/33 v 
 11 
μ(u,v)=


 v1/3(1+v)u2/3 
 1 
μ(u,v)=

 v1/3u2/3(1+v) 
 1 
μ(u,v)=

 x1/3y x2/3(1+xy3) 
 1 
μ(u,v)=

 xy(1+xy3) 
22 gru 10:30
Mariusz: To równanie łatwo rozwiązać samymi czynnikami całkującymi Jeden czynnik całkujący możesz znaleźć korzystając z podstawienia a drugi jest o rozdzielonych zmiennych
δμ(x,y)P(x,y) δμ(x,y)Q(x,y) 

=

δy δx 
Niech μ(x,y) = φ(x)ψ(y)
δφ(x)ψ(y)P(x,y) δφ(x)ψ(y)Q(x,y) 

=

δy δx 
  δP(x,y)  δQ(x,y) 
φ(x)

P(x,y)+φ(x)ψ(y)

=ψ(y)

Q(x,y)+ψ(y)φ(x)

 dy δy dx δx 
 δP(x,y) δQ(x,y)   
φ(x)ψ(y)

− ψ(y)φ(x)

= ψ(y)

Q(x,y) − φ(x)

P(x,y)
 δy δx dx dy 
 δP(x,y) δQ(x,y)   
φ(x)ψ(y)(


) = ψ(y)

Q(x,y) − φ(x)

P(x,y)
 δy δx dx dy 
 δP(x,y) δQ(x,y) ψ(y) 
(


) =


Q(x,y) −
 δy δx φ(x)ψ(y)dx 
 φ(x) 


P(x,y)
 φ(x)ψ(y)dy 
δP(x,y) δQ(x,y) 1 1 


=


Q(x,y) −


P(x,y)
δy δx φ(x)dx ψ(y)dy 
Niech
1 


=f(x)
φ(x)dx 
1 


=g(y)
ψ(y)dy 
 

=f(x)dx
φ(x) 
 

=g(y)dy
ψ(y) 
Mamy więc
δP(x,y) δQ(x,y) 


=Q(x,y)f(x) − P(x,y)g(y)
δy δx 
W twoim równaniu ydx +(x−2x2y3)dy=0 P(x,y)=y Q(x,y)=x−2x2y3 1−(1−4xy3)=(x−2x2y3)f(x)−yg(y) 4xy3 = (x−2x2y3)f(x)−yg(y)
 A 
Można przyjąć że funkcja f(x) będzie w postaci

 x 
 B 
a funkcja g(y) będzie w postaci

 y 
 A B 
4xy3 = (x−2x2y3)

−y

 x y 
4xy3 = A −2Axy3 − B A − B = 0 −2A = 4 A=B A=−2
 2 
f(x)=−

 x 
 2 
g(y)=−

 y 
 

=f(x)dx
φ(x) 
 

=g(y)dy
ψ(y) 
 2 

=−

dx
φ(x) x 
 2 

=−

dy
ψ(y) y 
ln|φ(x)|=−2ln|x| ln|ψ(y)|=−2ln|y| ln|φ(x)|=ln|x−2| ln|ψ(y)|=ln|y−2|
 1 
φ(x)=

 x2 
 1 
ψ(y)=

 y2 
 1 
μ2(x,y)=

 x2y2 
Pierwszy czynnik całkujący wcześniej policzyłem i wynosi on
 1 
μ1(x,y)=

 xy(1+xy3) 
Mamy dwa czynniki całkujące i wystarczy je tylko podzielić
1 

(x2y2)=C
xy(1+xy3) 
xy 

=C
1+xy3 
22 gru 11:31
Mariusz: ydx +(x−2x2y3)dy=0 Jeśli chodzi o typ równania to wcześniej pokazałem że jest ono jednorodne ale jeśli przyjmiemy że y jest zmienną niezależną to jest ono także równaniem Bernoulliego ydx +(x−2x2y3)dy=0
 dx 
y

+ (x−2x2y3)=0
 dy 
 dx 
y

+ x − 2y3x2=0
 dy 
 dx 
y

+ x = 2y3x2
 dy 
dx 1 

+

x = 2y2x2
dy y 
22 gru 12:28