Okręgi salamandra: Napisz równanie okręgu przechodzącego przez punkty A i B gdzie A(3,0), B(−1, 2) Którego środek leży na prostej o równaniu x−y+2=0. Jedyne co wiem, to że AO = BO i że jest to promień gdzie O to środek okręgu, ale co dalej?
18 gru 13:22
Jerzy: S = (y − 2,y) (y − 2 − 3)2 + (y − 0)2 = (y − 2 + 1)2 + (y − 2)2 i obliczasz współrzędne środka i na koncu promień.
18 gru 13:32
Tadeusz: rysunek
18 gru 13:36
Tadeusz: Znacznie upraszcza liczenie jeśli zauwazysz, że szukany okrąg jest styczny do Ox w punkcie A wtedy współrzędne srodka masz niemal z automatu
18 gru 13:39
Blee: @Tadeusz, może i upraszcza, ale to jest założenie którego nie może przyjąć.
18 gru 13:49
Tadeusz: "zauważysz" to miałem na myśli nie z rysunku tylko wykazanie, że ....
18 gru 13:55
salamandra: A co ma na celu przyrównanie przez Jerzego dwóch równań okręgu?
18 gru 15:40
Jerzy: To porównanie odległości. Odległość A od S jest taka sama jak B od S.
18 gru 15:42
salamandra: Skoro ta odległość to jest tak naprawdę prosta(odcinek), to dlaczego stosujemy równanie okręgu?
18 gru 15:44
Blee: zauważ, że: 1) wyznaczył wzór ogólny okręgu: (x1 − (y−2))2 + (x2 − y)2 = r2 ze względu na to że środek okręgu leży na prostej x = y−2 2) następnie podstawił współrzędne punktów które mają należeć do okręgu, więc: (3 − (y−2))2 + (0 − y)2 = r2 (−1 − (y−2))2 + (2 − y)2 = r2 3) i przyrównuje lewe strony
18 gru 15:46
Jerzy: Korzystamy ze wzoru na odległość dwóch punktów i porównujemy je ze sobą. To co napisałem, to już po podniesieniu obu stron równania do kwadratu, stąd nie ma już pierwiastków.
18 gru 15:48
salamandra: Brakowało mi tego "r", czyli po wyliczeniach wyjdzie mi, że y = 5, więc S(3,5) i żeby obliczyć promień, to mogę jakoś ten wyliczony "y" wstawić do któregoś z równań? Wychodzi mi równanie tożsamościowe jak wstawię
18 gru 15:52
salamandra: Rozumiem Jerzy, właśnie chciałem spytać dlaczego nie korzystamy ze wzoru na odległość dwóch punktów, nie zauwazylem tego podniesienia do kwadratu
18 gru 15:53
salamandra: Ok, co do tego z 15:52 już wiem, po prostu zamiast pod jedno wstawić "y", a po prawej zostawić r2, wstawiałem do (y − 2 − 3)2 + (y − 0)2 = (y − 2 + 1)2 + (y − 2)2
18 gru 15:56
salamandra: Teraz mam problem z trudniejszym przykładem: b) przechodzącego przez punkt P(1,0), stycznego do prostych okreslonych równaniami: 1) x+y−2 = 0 2) x+y+3 = 0 Zauważam, że są to proste równoległe, więc odległość między nimi to średnica okręgu.
 25 
Po obliczeniach wychodzi mi, że promień to

(dobrze, sprawdziłem).
 8 
Wziąłem punkt leżący na pierwszej prostej M(2,0), i obliczyłem odległość tego punktu od prostej ze wzoru: http://matematyka.pisz.pl/strona/1249.html Natomiast teraz nie wiem jak wyznaczyć środek, wiem, że prawdopodobnie będą dwa, bo ten punkt P(1,0) może być zarówno po lewej stronie okręgu jak i prawej, zależy od środka. Prosiłbym o wskazówkę, nie o rozwiązanie, gdyż chciałbym to zrobić sam, ale zatrzymałem się w tym miejscu i nie wiem co dalej.
18 gru 16:00
Mila: Podpowiedź:
 25 52 
r2=

, r=

 8 4 
1) Środek okręgu leży na prostej równoległej do obu prostych, jednakowo odległej od obu prostych.
18 gru 16:37
salamandra: Czyli, jak wziąłem sobie ten punkt M(2,0), to biorę punkt N leżący na drugiej prostej, leżący na x = 2, czyli N(2,−5), w związku z tym, współrzędna "y" środka musi być równa −2,5?
18 gru 16:39
Mila: Tak, napisz teraz równanie prostej :
 5 
y=−x+b i przechodzącej przez (2,−

)
 2 
Prościej środek odcinka dla punktów A=(0,2) i (B=(0,−3)
18 gru 17:06
salamandra:
 |C1−C2| 
a dlaczego jest wzór na odległość między prostymi równoległymi d =

, w
 A2+B2 
tym momencie to odległość między tymi prostymi (1 oraz 2) nie wychodziłaby 5.
18 gru 17:08
salamandra: rysunek
 52 
Odległość między prostymi to

, a jakby liczyć z odległości dwóch punktów, to
 2 
wychodzi 5.
18 gru 17:11
Mila: rysunek Odległość między prostymi to długość odpowiedniego odcinka prostopadłego ; d=|AA'|− odległość między prostymi. |AB|− odległość między punktami AB nie jest prostopadłe do k i do m
18 gru 17:24
Mila: Przez środek AA' a także przez środek AB będzie przechodziła prosta równoległa do obu prostych i jednakowo odległa od nich.
18 gru 17:26
salamandra: aha, a ja właśnie myślałem, że AB jest prostopadłe, ale to miałoby tylko zastosowanie, gdy prosta by była określona równaniem y=−5 oraz y = 0, racja?
 1 
Obliczyłem równanie prostej: y = −x−

, ale nadal nie wiem jak wyznaczyć współrzędne
 2 
środka
18 gru 17:28
salamandra: Współrzędne środka (a, −2,5), więc odległość od punktu P(1,0) do tej prostej musi być równy promienowi?
18 gru 17:36
Mila: rysunek
 25 
(x−a)2+(y−b)2=

 8 
 1 1 
Środek okręgu należy do prostej y=−x−

⇔O=(a, −a−

)
 2 2 
 25 
Okrąg ma środek O , r2=

i przechodzi przez P=(1,0)
 8 
 1 25 
(1−a)2+(0+a+

)2=

 2 8 
18 gru 17:53
Saizou : rysunek K1 Tip: S leży na prostej równoległej do prostej l1 oraz l2 Cel: napisanie tej prostej K2
 1 
Tip: r=

d d− odległość między l1 a l2
 2 
Cel: wyznaczenie długości promienia okręgu K3 Tip: |SP|=r Cel: wyznaczenie współrzędnych punktu S K4 Cel: zapisanie równania okręgu (będą dwa takie okręgi)
18 gru 17:56
salamandra: Dziękuję Wam, jeszcze dopytam, bo nie mogę tego zrozumieć, np. w pierwszy wpisie Jerzego, lub Mili, z tymi współrzędnymi środka, że np. S(y−2, y) [wpis Jerzego], jak do tego dojść?
18 gru 18:13
Saizou : Skoro punkt leży na prostej, to spełnia jej równanie np. Niech punkt K leży na prostej o równaniu y=2x+3. Ogólnie punkt K ma współrzędne (x, y), ale wartość y możemy doliczyć przy pomocy wzoru prostej, czyli mam K = (x, 2x+3))
18 gru 18:16
salamandra: Czyli skoro S(x,y), a x= y−2, to S(y−2, y) i robimy to po to, aby mieć tylko jedną niewiadomą?
18 gru 18:17
Saizou : Dokładnie tak emotka
18 gru 18:17
salamandra: Tylko tutaj jest trochę w odwrotną stronę niż normalnie
18 gru 18:18
Saizou : @Jerzy wybrał tę opcję, żeby nie mieć ułamków emotka @Mila wybrała standardową opcję
18 gru 18:20
salamandra: I w końcu nie wiem, czy Jerzy zastosował wzór na odległość dwóch punktów, czy tak jak Blee mówi, układ równań z dwoma równaniami okręgu, bo jeśli założyłbym, że to odległość dwóch punktów, to AS=BS. AS= (y−2−3)2+(y−0)2 BS = (y−2+1)2+(y−2)2 AS = BS y=5 S(3,5), i w tym momencie powinienem wyliczyć r ze wzoru a2+b2−c z postaci ogólnej okręgu?
18 gru 18:27
Jerzy: (AS)2 = (BS)2 i znikają pierwiastki.
18 gru 18:31
Saizou : @Jerzy bardzo skrótowo opisał swoją metodę emotka @Blee ją uszczegółowił. PS. niezależnie jaką metodę wybierzesz, ważne żeby wszystko co robisz było zgodne z prawami matematyki
18 gru 18:31
salamandra: Wiem, ja to policzyłem i wyliczyłem środek, ale jak dojść do promienia?
18 gru 18:31
Saizou : Zobacz na mój post z opisanymi krokami
18 gru 18:32
salamandra: w b) już wiem o co chodzi, na chwilę wróciłem do tego a), bo teraz dopiero wszystko notuję.
18 gru 18:33
Jerzy: Skoro masz współrzędne S , to promień jest odległością A od S lub B od S.
18 gru 18:33
Feng Si Niang:
18 gru 18:34
salamandra: no tak, czyli teraz po prostu wstawiam do jednego z nich (AS lub BS) otrzymane y, nie wiem dlaczego tego nie widzę
18 gru 18:35
Jerzy: Liczysz odległość punktu A od S.
18 gru 18:36
salamandra: Już wiem, wyszło, dzięki, pewnie się tu za niedługo odezwę, bo podejrzewam, że c) będzie trudniejszy.
18 gru 18:38
Saizou : rysunekNapisz równanie okręgu przechodzącego przez punkty A i B gdzie A(3,0), B(−1, 2) Którego środek leży na prostej o równaniu x−y+2=0. S=(x, x+2) |SB|=|SA| Z tego masz współrzędne punktu S r = |SA|
18 gru 18:40
Mila: rysunek Trzeba wykonać rysunek, to jest geometria. a) A(3,0), B(−1, 2) S=(a,b) − środek okręgu (x−a)2+(y−b)2=r2− równanie okręgu 1) środek okręgu należy do prostej : k: x−y+2=0⇔y=x+2 S=(a,b) − wsp. spełniają równanie y=x+2⇔ S=(a,a+2) |SA|=|SB|⇔ (3−a)2+(0−a−2)2=(−1−a)2+(2−a−2)2 /2 itd a=3 S=(3, 5) i A=(3,0) mają jednakowe wsp x−owe to : 2) długość promienia: r=|SA|=|5−0|=5 To samo wyjdzie z rachunku: r=|SB|=(3+1)2+(2−5)2=16+9=25=5 (x−3)2+(y−5)2=25 ==========================
18 gru 19:02
salamandra: rysunekTeraz mam podane, że okrąg jest styczny do osi y i prostej o równaniu y=−x oraz jego promień wynosi 3 Co powinienem najpierw z tych danych wyciągnąć?
18 gru 20:15
salamandra: Skoro jest styczny do osi y i jego promień jest równy 3, to na pewno jest też styczny do prostej o równaniu x=6 lub x=−6 (?)
18 gru 20:18
Jerzy: Pierwszy wniosek: S = (3,y)
18 gru 20:32
salamandra: No właśnie do tego doszedłem. Potem wzorem na odległość środka od prostej y= −x, która musi się równać promieniowi?
18 gru 20:38
Jerzy: Dokładnie.
18 gru 20:51
salamandra: wyszły mi dwa rozwiązania, a powinny wyjść cztery: wyszło mi: S(3,y)
 |1*3+1*y| |3+y| 
d=

=

= 3
 2 2 
3+y 1 3+y 1 

= 3 *

v

= −3 / *

2 2 2 2 
3+y 3 3+y −3 

=

v

=

2 2 2 2 
3+y 32 3+y −32 

=

/*2 v

=

/*2
2 2 2 2 
3+y = 32 v 3+y = −32 y= 32−3 v y= −32−3
18 gru 20:58
salamandra: Aha, teraz muszę rozważyć przypadek, gdy S(−3,y)?
18 gru 21:00
Mila: Tak .
18 gru 21:09
Mila: rysunek k: y=−x 1) Promień jest prostopadły do OY w punkcie styczności . środek okręgu leży na prostej x=−3 lub x=3 S=(−3,b) lub x=(3, b) 2) odległość S od prostej x+y=0 jest równa 3
 |−3+b| 
d(S,k)=

=3 i S=(−3,b)
 2 
|b−3|=32 b−3=32 lub b−3=−32⇔S=(−3,3+32 b=3+32 lub b=3−32⇔S=(−3,3−32) S=(3,b)
 |3+b| 
d(S,k)=

=3
 2 
|b+3|=32 b+3=32 lub b+3=−32⇔ b=−3+32 lub b=−3−32⇔ S=(3,−3+32) lub S=(3,−3−32)
18 gru 21:10
salamandra: A dlaczego w ogóle liczymy odległość od prostej x+y=0, a nie od prostej x=0? Przecież to też 3
18 gru 21:13
Jerzy: Bo jest nieskończenie wiele okręgów o promieniu r = 3 stycznych do prostej x = 0 (czyli osi OY)
18 gru 21:41
Mila: Liczysz odległość od prostek y=−x , bo okrąg ma być do niej styczny, ponadto ustalono, że środek okręgu należy do prostej x=−3 lub x=3 i to już ustala odległość od OY.
18 gru 21:59
Mila: Prosta x=0 to y∊R i co policzysz?
18 gru 22:09
salamandra: Dziękuję za pomoc emotka
18 gru 22:17
Mila: rysunek zadanie 1) P=(1,0) k: x+y−2 = 0⇔y=−x+2 m: x+y+3 = 0⇔ y=−x−3 1) Środek okręgu leży na prostej równoległej do obu prostych, jednakowo odległej od obu prostych a) Piszemy równanie prostopadłej do obu prostych i przechodzącej przez punkt ∊k np. A= (0,2) ( tak będzie najprościej ) y=x+2 b) Punkt przecięcia z prostą m: x+2=−x−3
 5 1 
2x=−5 , x=−

, y=−

 2 2 
 5 1 
B=(−

, −

)
 2 2 
środek AB
 
 5 
0−

 2 
 
 −1 
2+

 2 
 
xs=

, ys=

=
 2 2 
 5 3 
S=(−

,−

)
 4 4 
prosta s ||k i s||m S∊S
 1 
y=−x−

 2 
2) Odległość prostych równoległych z równań ogólnych:
 |−2−3)| 52 
d(k,m)=

=

 2 2 
− długość średnicy okręgu:
 52 
r=

 4 
 1 
3)O=(a, −a−

) ,P= (1,0)
 2 
 1 25 
(1−a)2+(a+

)2=

 2 8 
 3 1 
a=−

i b=

 4 4 
lub
 5 7 
a=

,−

 4 4 
 3 1 5 7 
O1=(−

,

), lub O2=(

, −

)
 4 4 4 4 
Zostają równania.
18 gru 22:19
salamandra: Dziękuję Milu jeszcze raz za wysiłek, chociaż wątpię, aby miał on miejsce
18 gru 22:26