Całki Martyna : Mam dwie całki, które próbuję rozwiązać, ale coś mi nie wychodzi: ∫x2x2+4dx oraz drugi przykład ∫1/x(x−1)/xdx. Każda wskazówka będzie a wagę złota!
17 gru 20:56
a7: x2+4=t2 2xdx=2tdt t=x2+4 ∫(t2−4)*tdt=∫t3dt−∫4tdt=1/4t4+2t2 +C=1/4(x2+4)2+2(x2+4)+C=.....
17 gru 21:12
Leszek: Tam zgubiles x , Gdy : x2 + 4 = t2 ⇒ x2 = t2 −4 , oraz dx = tdt/x Po podstawieniu : ∫ (t2 −4) t2 dt /x = ? ?
17 gru 21:18
a7: aj
17 gru 21:19
Martyna : Za x2 podstawiamy (t2−4), za pierwiastek t, a za tdt=xdx, czyli dx=tdt/x, a tutaj coś mi nie pasuje, czy coś źle rozumiem?
17 gru 21:24
Leszek: Nalezy podstawic : x2 +4 = ( t −x)2 , podstawienie Eulera Wowczas :
 t2 −4 t2 +4 
x=

⇒ dx=

dt
 2t 2t2 
Dokoncz ! !
17 gru 21:24
jc:
 1 x−1 

[

]1/2 dx ?
 x x 
17 gru 21:33
Leszek:
 1dx  
Druga calka to chyba ? ∫

? ? Jezeli tak to : x2 − x= ( t− x)2
  x2 − x 
I podobnie dalej jak pierwsza calka !
17 gru 21:41
Martyna : Nie, nie druga całka wygląda tak, jak napisał /napisała jc
17 gru 21:53
Leszek: Kolezanko Martyno , nawias w matematyce oznacza dzialanie matematyczne , wiec nalezy je uzywac ! !
17 gru 22:03
jc: Leszek, dobrze było napisane. Gdzie byś chciał nawias postawić ?
17 gru 22:07
Mariusz:
 1 

x−1xdx
 x 
x−1 

=t2
x 
 1 
1−

=t2
 x 
 1 
1−t2=

 x 
 1 
x=

 1−t2 
 0*(1−t2)−1*(−2t) 
dx=

dt
 (1−t2)2 
 2t 
dx=

dt
 (1−t2)2 
 2t 
∫(1−t2)t

dt
 (1−t2)2 
 2t2 2t2−2+2 

dt=∫

dt
 1−t2 1−t2 
 (1+t)+(1−t) 
∫−2dt+∫

dt
 (1+t)(1−t) 
 dt dt 
=−2∫dt+∫

+∫

 1−t 1+t 
 1+t 
=−2t+ln|

|+C
 1−t 
Po powrocie do poprzedniej zmiennej otrzymamy =−2x−1x+2ln|1+x−1x|+ln|x|+C
17 gru 22:07
Leszek: ∫(1/x) (x−1)/x dx
17 gru 22:08
Mila: 1) ∫x2x2+4dx=∫x*xx2+4 dx=... Przez części: x=u, dx=du, dv=xx2+4 dx, v=∫xx2+4 dx− podstawienie: x2+4=t, 2xdx=dt
 1 1 2 1 
v=

t dt=

*

t3/2=

(x2+4)x2+4
 2 2 3 3 
 1 1 4 
...=x*

(x2+4)x2+4

x2x2+4dx

x2+4dx⇔
 3 3 3 
4 1 4 

∫x2x2+4dx=

x*(x2+4)x2+4

x2+4dx
3 3 3 
ostatnią całkę z wzorów. Nie wiem, czy to krócej niż od razu podstawienie Eulera
17 gru 22:14
jc:
 1 2u2du 
Przyjmując x=

, czyli u=(x−1)/x, dostajemy całkę ∫

.
 1−u2 1−u2 
17 gru 22:17
Mariusz: Mila zauważyłem że akurat w tych całkach pierwsze podstawienie Eulera prowadzi do całek z potęgi Po zastosowaniu liniowości całki dostajemy całkę ∫tadt a tę już łatwo policzyć
17 gru 22:35
jc: MIla, kilkakrotnie całkując przez części sprowadziłem całkę
 dx 
do całki z

. Gdybym liczył dla siebie, podstawiłbym x= 2 sh t.
 4+x2 
 ch4t −1 sh4t t 
Dałoby to całkę 4∫sh2t ch2t dt = ∫sh22t dt = ∫

dt =


 2 8 2 
A teraz trzeba wrócić do x=2y. sh4t = 2sh 2t ch2t = 4 sh t ch t (ch2t + sh2t)=4y(1+2y2)1+y2 Natomiast t = ln(y+1+y2).
17 gru 22:45
jc:
 1 1 
całka =

x(2+x2)4+x2

ln(x+x2+4)
 16 2 
17 gru 22:48
Martyna : Leszek dziękuję za uwagę, będę wiedziała na przyszłość emotka
18 gru 07:42
Mariusz: ∫x2x2+4dx x2+4= t − x x2+4 = t2 − 2tx + x2 4 = t2 − 2tx 2tx=t2−4
 t2−4 
x=

 2t 
 2t*2t−2(t2−4) 
dx=

dt
 4t2 
 t2+4 
dx=

dt
 2t2 
 2t2−(t2−4) 
t − x =

 2t 
 t2+4 
t − x =

 2t 
 (t2−4)2t2+4t2+4 



dt
 4t22t2t2 
 (t2−4)2(t2+4)2 

dt
 16t5 
 (t4−16)2 

dt
 16t5 
 t8−32t4+256 

dt
 16t5 
1 1 1 

(∫t3dt−32∫

dt+256∫

dt)
16 t t5 
Tak jak pisałem wcześniej mamy całkę z potęgi bez żadnych gotowych wzorów czy hiperbolicusów
1 t4 256 

(


−32ln|t|)+C
16 4 4t4 
1 t8−256 

(

−128ln|t|)+C
64 t4 
(t4−16)(t4+16) 

− 2ln|t|+C
64t4 
(t2−4)(t2+4)(t4+16) 

− 2ln|t|+C
64t4 
t2−4t2+4t4+16 



−2ln|t|+C
2t2t16t2 
1t2−4t2+4(t4−8t2+16)+8t2 




−2ln|t|+C
42t2t4t2 
1t2−4t2+4 t2−4 



((

)2+2)−2ln|t|+C
42t2t 2t 
1 

x(x2+2)x2+4−2ln|x+x2+4|+C
4 
1 

(x3+2x)x2+4−2ln|x+x2+4|+C
4 
18 gru 08:21
Mariusz: " Leszek, dobrze było napisane. Gdzie byś chciał nawias postawić ?" 17 gru 2019 22:07 Zapis ułamka byłby bardziej czytelny , nie miałby wątpliwości gdzie jest pierwiastek czy w liczniku czy w mianowniku
18 gru 08:35
jc: Mariusz, cóż zapomniałem o 4 przed całką. Po uwzględnieniu 4 wyniki się zgadzają. Wydaje mi się, że użycie funkcji hiperbolicznych podpowiada dalsze rachunki. Porównaj − Twój rachunek jest 10 razy dłuższy. W ostatnich liniach moduł pod logarytmem nie jest potrzebny. Wyrażenie jest zawsze dodatnie.
18 gru 08:43
Mariusz: Można było podać x oraz dx od razu jak to zrobił Leszek i byłoby krócej Ja całki pojedyncze miałem jeszcze w szkole średniej przed wprowadzeniem hiperbolicusów Po podstawieniu całkowanie można wykonać w pamięci Rachunek wygląda na dłuższy dlatego że pokazałem jak otrzymać x oraz dx podane przez Leszka a potem bawiłem się z powrotem do poprzedniej zmiennej
18 gru 09:48
Leszek:
 1 x 
Wyrazenie 1/2x jest rownowazne :

, zas wyrazenie (1/2)x rownowazne jest

 2x 2 
Dlatego nalezy albo uzywac nawiasu albo pisac ulamki uzywajac licznika i mianownika .
18 gru 14:29