całka Marcin: rozwiąż calkę
 dx 1 dx 2 dx 

=


=


 2x2−6x+4 2 x2−3x+2 2 (2x−3)2−1 
 1 
= podstawienie t=2x−3 =

ln|2x−3+(2x−3)2−1|
 2 
co robię źle?
14 gru 13:40
ICSP: nic
14 gru 13:53
Marcin: czyżby znowu błąd w odpowiedzi?
 1 3 3 1 
w odp jest ... =

ln|x−

+(x−

)2

|
 2 2 2 4 
(pierwiastek jest do końca wartości bezwzględnej)
14 gru 13:56
ICSP: bez różnicy. Oba wyniki są poprawne.
14 gru 13:56
Marcin: Może głupie pytanie, ale jak to możliwe? Xd bo wklepalem w kalkulator z losowa wartością dla x i wynik wyszły różne
14 gru 14:00
ICSP: Bo różnią się o stała. (której z pewnych względów nie dodajesz do wyniku)
 1 
Konkretnie

ln(2)
 2 
14 gru 14:03
Marcin: Ale ta stała jest różna od 1, więc raczej powinna zmienić wynik?
14 gru 14:06
ICSP: Czym jest "C" które zapisuje się po wyniku całki nieoznaczonej?
14 gru 14:28
Mariusz:
 dx 1 dx 

=


 2x2−6x+4 2 x2−3x+2 
1. Podstawienie x2−3x+2 = t − x x2−3x+2 = t2 − 2tx + x2 −3x+2 = t2 − 2tx 2tx−3x=t2−2 x(2t−3)=t2−2
 t2−2 
x=

 2t−3 
 2t(2t−3)−2(t2−2) 
dx=

dt
 (2t−3)2 
 t2−3t+2 
dx=2

dt
 (2t−3)2 
 t2−2 
t−x=t−

 2t−3 
 t2−3t+2 
t−x=

 2t−3 
 2t−3t2−3t+2 
2∫


dt
 t2−3t+2(2t−3)2 
 2 

dt=ln|2t−3|+C
 2t−3 
 dx 1 

=

ln|2x−3+2x2−3x+2 |+C
 2x2−6x+4 2 
2. Podstawienie Zanim zastosujesz podstawienie przedstawiasz trójmian kwadratowy pod pierwiastkiem w postaci iloczynowej
 dx 1 dx 

=


=
 2x2−6x+4 2 x2−3x+2 
1 dx 


2 (x−1)(x−2) 
(x−1)(x−2)=(x−1)t (x−1)(x−2)=(x−1)2t2 x−2=(x−1)t2 x−2=xt2−t2 x−xt2=2−t2 x(1−t2)=2−t2
 2−t2 
x=

 1−t2 
 −2t(1−t2)−(−2t)(2−t2) 
dx=

dt
 (1−t2)2 
 −2t((1−t2)−(2−t2)) 
dx=

 (1−t2)2 
 2t 
dx=

dt
 (1−t2)2 
 ((2−t2)−(1−t2))t 
(x−1)t=

 1−t2 
 t 
(x−1)t=

 1−t2 
1 1−t22t 



dt
2 t(1−t2)2 
1 2 1 (1−t)+(1+t) 


dt=


dt
2 1−t2 2 (1−t)(1+t) 
1 dt 1 dt 


+


=ln|1+t|−ln|1−t|+C
2 1+t 2 1−t 
 1 1+t 
=

ln|

|+C
 2 1−t 
 1 1+t2+2t 
=

ln|

|+C
 2 1−t2 
 1 4−2t2−3+3t2+2t 
=

ln|

|+C
 2 1−t2 
1 dx 1 


=

ln|2x−3+2(x−1)(x−2)|+C
2 (x−1)(x−2) 2 
Dwa powyższe podstawienia pozwolą ci sprowadzić każdą całkę postaci ∫R(x,ax2+bx+c)dx, gdzie R(x,y) jest funkcją wymierną dwóch zmiennych do całki z funkcji wymiernej
14 gru 16:18
Marcin: Chwilowo chciałem uniknąć podstawień Eulera, ale dziękuję za alternatywę emotka
14 gru 16:37
Mariusz: Tak ale są dość wygodne O za sześć godzin rozpocznę kolejny rok życia , jak ten czas leci
14 gru 17:28
Mila: Miłej imprezy urodzinowej! Wszystkiego najlepszegoemotka
14 gru 22:40
Mariusz: Mila wstrzeliłaś się dokładnie w rocznicę moich urodzin , co do minuty Imprezy aż takiej nie było , nie lubię ani alkoholu , ani hałasu za to było sporo słodkiego
15 gru 05:15
Mila: emotka
15 gru 15:59