Ciało Justyna: Wyłączając ze zbioru wielomian zerowy definiujemy iloczyn wielomianów w1(x), w2(x) w zbiorze A jako resztę z dzielenia iloczynu w1(x)w2(x) przez wielomian x3 + x + 1 (nad ciałem Z2) Co oznacza to zdanie?
1 gru 21:12
jc: Prościej tego się nie powie. Ale można policzyć wszystkie iloczyny. A={1, x, 1+x} Mnożenie jet przemienne, więc mamy tylko 6 różnych iloczynów. 1*1=1 1*x=x 1*(1+x)=1+x x*x=1+x x*(1+x)=1 (1+x)*(1+x)=x
1 gru 21:24
Justyna: A co z x2 np.
1 gru 21:26
Justyna: Ciało A nie powinno mieć x2, x2+1, x2+x, x2+x+1, x, x+1, 1
1 gru 21:27
Justyna: Bo bez wielomianu zerowego
1 gru 21:28
jc: Może któryś przypadek dokładniej wyjaśnię. (1+x)(1+x)=1+2x+x2=1+x2=(1+x+x2)+x Dlatego reszta z dzielenia (1+x)(1+x) przez wielomian 1+x+x2 równa jest x. Wykorzystałem fakt, że 1+1=0. 2x oznacza x+x, czyli 0. Powyżej gwiazdką oznaczyłem iloczyn w zbiorze A.
1 gru 21:28
Justyna: I bez 1 w sumie
1 gru 21:28
Justyna: Rozumiem resztę z dzielenia, ale nie rozumiem czemu w ciele A są tylko 1,x,1+x
1 gru 21:29
jc: Aj, nie zauważyłem, że tam jest x3. No to mamy większą tabelę (7x7, ale symetryczną) Przykład. (1+x2)(1+x)=1+x+x2+x3=(1+x+x3)+x2 Wniosek. (1+x2)*(1+x)=x2.
1 gru 21:30
Justyna: Czyli tabelą mnożenie w tym przypadku będzie po prostu taka tabela modulo ok. Jeśli mogę to poprosiłabym o wytłumaczenie też ostatnich dwóch zdań. Czy A \ {0} wraz z powyżej zdefiniowanym mnożeniem jest grupą? Które z wielomianów stopnia 3 nad Z2 są nierozkładalne na iloczyn wielomianów stopnia niższego niż 3.
1 gru 21:33
jc: Wystarczy, że wielomian f=x3+x+1 jest nierozkładalny. Jak to sprawdzić? Gdyby był rozkładalny, to jeden z czynników byłby liniowy i miałby pierwiastek, a tym samym nasz wielomian miałby pierwiastek. f(0)=1, f(1)=1, f nie ma pierwiastków, więc zgodnie z tym, co zostało powiedziane wcześniej, jest nierozkładany.
1 gru 21:42
Justyna: Dziękuję bardzo
1 gru 21:45