Równanie trygonometryczne Ania: rozwiązać równanie sinx+cosx=2/2 na przedziale x∊<π/2;2π> Mój sposób: Podnoszę stronami do kwadratu sin2x+2sinxcosx+cos2x=1/2 2sinxcosx+1=1/2 2sinxcosx=−1/2 sin2x=−1/2 2x=−π/6 + 2kπ ⋁ 2x=−5π/6 + 2kπ x=−π/12 + kπ ⋁ x=−5π/12 + kπ Mamy określony przedział, więc: Dla k=1 mamy x=−π/12 + π = 11π/12 ⋁ −5π/12 + π = 7π/12 OBA NALEŻĄ DO PRZEDZIAŁU Dla k=2 mamy x=−π/12 + 2π = 23π/12 ⋁ −5π/12 + 2π = 19π/12 OBA NALEŻĄ DO PRZEDZIAŁu Więc wydawało by się, że mamy cztery rozwiązania, jednak w odpowiedziach jest tylko 7π/12 i 23π/12 Wolfram mówi to samo, więc gdzieś w moim rozwiązaniu jest błąd, tylko nie wiem gdzie ...
28 lis 22:17
salamandra: sin2x=−1/2 2x=−π/6 + 2kπ ⋁ 2x=7π/6 + 2kπ x= −π/12+2kπ v x = 7π/12 + 2kπ
28 lis 22:22
Saizou : Podnoszenie do kwadratu generuje dodatkowe rozwiązania np. x=1, gdy podniesiemy do kwadratu mamy x2=1 x2−1=0 (x−1)(x+1)=0 x=1 lub x=−1 Gdy podnosisz do kwadratu obydwie strony muszę być tego samego znaku (lub równe zero) Ewentualnie można sprawdzać podane wyniki (tzw. metoda analizy starożytnych)
28 lis 22:24
salamandra:
 −π π 
Wydaje mi się, że w drugim przypadku zapomniałaś że będzie π−(

) więc π+

 6 6 
28 lis 22:25
A@b:
 π 
sinα+cosα= 2cos(α−

)
 4 
28 lis 22:26
a@b: emotka
28 lis 22:28
Mila:
 2 2 
sinx+cosx=

/*

 2 2 
2 2 1 

sinx+

cosx=

2 2 2 
 π π 1 
sinx*cos(

)+sin(

)*cosx=

 4 4 2 
 π 1 
sin(x+

)=

 4 2 
 π π π  
x+

=

+2kπ lub x+

=

+2kπ
 4 6 4 6 
 −π  
x=

+2kπ lub x=

+2kπ i x∊<π/2;2π>
 12 12 
 −π  
k=0⇔x=

∉D lub x=

x∊<π/2;2π>
 12 12 
 −π 23π 
k=1⇔x=

+2π=

i to już koniec
 12 12 
28 lis 22:29
Ania: Rozumiem rozwiązanie, jednak zastanawiam się, gdzie popełniłam błąd. Nie wiem dlaczego nie wychodzi to samo moim sposobem
28 lis 22:34
salamandra: sin2x=−1/2 2x=−π/6 + 2kπ ⋁ 2x=−5π/6 + 2kπ Ten fragment jest źle na pewno, już Ci pisałem
28 lis 22:35
Ania: −5π/6 to jest to samo, co 7π/6, bo okres sinusa to 2π Poza tym, dlaczego w swoim rozwiązaniu nie dzielisz stronami przez 2 2kπ?
28 lis 22:38
salamandra: Z gapiostwa
28 lis 22:44
Mila: Przeczytaj uważnie co napisał Saizou.
 11π 11π 2 
sin(

)+cos(

)=−

 12 12 2 
 19π 19π 2 
sin(

)+cos(

)=−

 12 12 2 
 11π 19π 
(

), (

) nie spełniają równania.
 12 12 
Nie mając pewności, czy lewa strona jest nieujemna podniosłaś obie strony równania do kwadratu, otrzymałaś dwa "obce" rozwiązania.
28 lis 23:10
salamandra: To teraz i ja zacznę się bać cokolwiek podnosić do kwadratu, bo się okazuje, że nie można
28 lis 23:22
Mila: Można , ale najbezpieczniej ,gdy wiadomo, że obie strony równania są nieujemne. W innym przypadku, trzeba sprawdzać , czy obliczone roz. spełniają równanie.
29 lis 00:08