Matematyka dyskretna Kalasznikov: Witam, przychodzę z prośbą wykonania następującego zadania z matematyki dyskretnej: https://iv.pl/image/Grze53p Z góry dziękuję.
26 lis 18:19
Blee: 1) zacząć należy od wykazania, że:
 
nawias
n
nawias
nawias
k
nawias
 
2n = ∑0n
  
 
nawias
n
nawias
nawias
k
nawias
 
wykorzystamy do tego wzór (a+b)n = ∑0n
akbn−k
  
gdy podstawimy a = b = 1 to otrzymamy powyższą równość 2)
 
nawias
n
nawias
nawias
k
nawias
 
nawias
n
nawias
nawias
n−k
nawias
 
zauważamy, że
=
   
 
nawias
n
nawias
nawias
n−k
nawias
 
nawias
n
nawias
nawias
n−k
nawias
 
nawias
n
nawias
nawias
k
nawias
 n 
nawias
n
nawias
nawias
k
nawias
 
nawias
n
nawias
nawias
n−k
nawias
 
więc k*
+ (n−k)*
= n*
=

(
+
)
    2   
i zachodzi to dla dowolnego k ≤ n 3) więc ... jeżeli mamy n = 2j+1 (liczba nieparzysta)
 
nawias
n
nawias
nawias
k
nawias
 n
nawias
n
nawias
nawias
k
nawias
 n 
to ∑0n k
= ∑

=

*2n = n2n−1
  2 2 
4) jeżeli natomiast n = 2j (liczba parzysta) to występuje wyraz 'środkowy'
 n 
innymi słowy, dla k ≠

mamy to samo co powyżej
 2 
 n n 
nawias
n
nawias
nawias
n/2
nawias
 
natomiast dla k =

mamy po prostu

*
co także nam się pięknie składa 'do
 2 2  
kupy' dodajesz odpowiednią opisówkę i gotowe Tak −−− to jest ZARYS dowodu. Musisz jeszcze go 'dopieścić'.
26 lis 19:40
jc: To suma liczb elementów we wszystkich podzbiorach zbioru n elementowego. Dla n>0 każdy element należy do połowy podzbiorów, a ponieważ mamy n elementów, więc suma = n*2n/2=n2n−1.
26 lis 20:34