Moduł - liczba rozwiązan Patryk: Witam, mam takie zadanie: Określ liczbę rozwiązań równania w zależności od parametru a. 2|x| − x2 = a Podniosłem do kwadratu po tym jak określiłem dziedzine: x ∊<−2; 2> i a≥0. Wychodzi mi 2|x| − x2 = a2 I dalej z określeniem rozwiązań nie miałem problemu, ale tak myślę w jaki sposób wpływa a2 na rozwiązania. Bo zbiór wartości mam okreslony w: <0; 1>. Ale co by było gdyby miał np.<0; 5> ? Skoro były by wartości większe od 1 to wtedy np. zamiast a=5 napisałbym a = 25?
20 lis 21:48
Blee: Proszę −−− wyjaśnij swoje pytanie emotka
20 lis 21:50
Godzio: rysunek Niech f(x) = − x2 + 2x. Przekształćmy funkcję nakładając wartość bezwzględną na argument: f(|x|) = − |x|2 + 2|x| = − x2 + 2|x| Wykonujemy rysunek i odczytujemy: Gdy a2 < 1 równanie ma 4 rozwiązania Gdy a2 = 1 równanie ma 2 rozwiązania Gdy a2 > 1 lub a < 0 równanie nie ma rozwiązań.
20 lis 21:55
Patryk: A co by było gdybym miał inne wartości niż te z <0;1>? (Przykład): Powiedzmy, że dla wartości większych od 7 mam dwa rozwiązania, obojętnie zresztą ile rozwiązań, mi chodzi o sam zapis, to wtedy zapisać mam a>7 czy a2>7?
20 lis 22:08
Godzio: rysunek Zakładając, że wierzchołek byłby w 7, a nie w 1 (jak teraz) musielibyśmy rozwiązać nierówność a2 < 7 itd. Pamiętaj, że po obu stronach równania masz dwie funkcje: f(x) = − x2 + 2|x| oraz g(x) = a2 Druga funkcja w żaden sposób nie zależy od x, stąd wniosek, że jest stała. Mamy więc wykres funkcji f(x) oraz wykres funkcji g(x), która jest prostą poziomą. W zależności od ilości punktów przecięcia się wykresów f(x) i g(x) mamy liczbę rozwiązań.
 1 1 1 
Na wykresie przykład: a2 =

⇒ a ∊ {−

,

}
 4 2 2 
 1 
Dla takich 'a' otrzymujemy funkcję g(x) =

i jak widać mamy 4 punkty przecięcia, a stąd
 4 
4 rozwiązania.
20 lis 22:13
Godzio: Po tych wyjaśnieniach chyba nie odpowiedziałem precyzyjnie − gdybyś miał dla wartości większych od 7 mielibyśmy nierówność a2 > 7, a stąd a > 7 lub a < − 7 (pamiętaj, że przy parzystych wykładnikach otrzymujemy rozwiązanie dodatnie i ujemne)
20 lis 22:15
Patryk: Ok, czyli były by dwa przypadki, a co z założeniem, że a ≥ 0? Tak jak z tym zadaniem, które podałem na początku. Bo żeby podnieść po kwadratu musiałem założyć, że a≥0, więc jeśli musiałbym zapisać a2 > 7 to czy mogę rozpatrywać przypadek a<−7 skoro założenie mówi, że a ≥ 0?
20 lis 22:23
Godzio: Tak, wówczas bierzemy część wspólną i wartości ujemne odrzucamy, jednak gdyby nie było w równaniu pierwiastka, a byłoby a2, musielibyśmy dorzucić wartości ujemne.
20 lis 22:25
Patryk: Ok, rozumiem już. Dziękuję wielkie za wytłumaczenie emotka
20 lis 22:27