Sprawdzić, czy funkcja jest rożniczkowalna Horqu: Sprawdzić, czy funkcja f(x) = (tg x) / x dla x ∊(−π/2,π/2) 1 dla x=0 jest różniczkowalna w punkcie x0 = 0. Jeśli tak to podać wartość f'(0). Sprawdziłem, licząc granice z dwóch stron do x−>0, że jest ciągła, co zrobić dalej?
20 lis 19:24
Bleee: Liczysz pochodną (z definicji) z punkcie.
20 lis 19:29
Mariusz:
 
tg(x+h) tg(x) 


x+h x 
 
limh→0

 h 
 
xtg(x+h)−(x+h)tg(x) 

x(x+h) 
 
limh→0

 h 
 xtg(x+h)−(x+h)tg(x) 
limh→0

 x(x+h)h 
 xtg(x+h)−xtg(x)−htg(x) 
limh→0

 x(x+h)h 
 xtg(x+h)−xtg(x) tg(x) 
limh→0

−limh→0

 x(x+h)h x(x+h) 
 x(tg(x+h)−tg(x)) tg(x) 
limh→0


 x(x+h)h x2 
 tg(x+h)−tg(x) tg(x) 
limh→0


 (x+h)h x2 
 
tg(x)+tg(h) 

−tg(x)
1−tg(x)tg(h) 
 tg(x) 
limh→0


 (x+h)h x2 
 
tg(x)+tg(h)−tg(x)+tg2(x)tg(h) 

1−tg(x)tg(h) 
 tg(x) 
limh→0


 (x+h)h x2 
 tg(h)1+tg2(x) tg(x) 
limh→0



 h(1−tg(x)tg(h))(x+h) x2 
 sin(h)11+tg2(x) tg(x) 
limh→0




 hcos(h)(1−tg(x)tg(h))(x+h) x2 
 1+tg2(x) tg(x) 
f'(x)=


 x x2 
21 lis 09:55
jc: Zero. Czy Miałeś już Hospitala, czy oczekujesz rachunku bez pochodnych?
21 lis 11:46
Mariusz: Chyba raczej bez pochodnych Tutaj należy sprawdzić czy granice jednostronne są równe
 x+xtg2(x)−tg(x) 
limx→0+

 x2 
 
x(cos2(x)+sin2(x))−sin(x)cos(x) 

cos2(x) 
 
limx→0+

 x2 
 x−sin(x)cos(x) 
limx→0+

 cos2(x)x2 
 1 x−sin(x)cos(x) 
limx→0+

limx→0+

 cos2(x) x2 
 x−sin(x)cos(x)+sin(x)−sin(x) 
limx→0+

 x2 
 x−sin(x) sin(x) 1−cos(x) 
limx→0+

+limx→0+

limx→0+

 x2 x x 
 x−sin(x) 
limx→0+

 x2 
Jeżeli mielibyśmy oszacować tego sinusa to trzeba by było wziąć co najmniej dwa wyrazy jego rozwinięcia w szereg
21 lis 13:00
jc: Mariusz, skąd bierzesz tg2x.
 1 tg x 
Mamy policzyć granicę w zerze wyrażenia

(

− 1).
 x x 
 x− sin x 
Faktycznie problemem jest granica

.
 x2 
Jak pokazać ten fakt, wykorzystując granicę typu (sin x)/x w zerze? Rozwiniecie w szereg czy też Hospital od razu dają zero.
21 lis 13:37
jc: rysunek Rysunek jest nieco zniekształcony, aby coś było widać. pole księżyca = (x − sin x)/2 < duży trójkąt − mały trójkąt
 x 
0<x − sin x < 2 tg

− sin x =
 2 
 x x x 
 x 
sin3

 2 
 
2(tg

− sin

cos

)=2*

 2 2 2 
 x 
cos

 2 
 
 x − sin x 
Stąd

→0 przy x→0.
 x2 
21 lis 14:11
Mariusz:
 tg(x) 
jc a podaj pochodną f(x)=

 x 
Blee nie bez powodu sugerował aby policzyć ją z definicji i we wpisie z 21 lis 2019 09:55 ją policzyłem Poza tym dobrze jest zapisywać pochodną tangensa jako (tg(x))' = 1+tg2(x) bo przydaje się to między innymi podczas całkowania
21 lis 17:25
jc: W zadaniu miałeś policzyć pochodną w zerze. Wynik = 0.
 
tg u 

−1
u 
 
f'(0) = limu→0

= 0
 u 
1 tg u sin u − u cos u 

(

− 1) =

u u u2 cos u 
 1 1 − cos u u − sin u 
=

(


)
 cos u u u2 
1−cos u sin2u 

=

→0,
u u(1+cos u) 
drugi wyraz →0
21 lis 17:38