Indukcja matematyczna Marcin: Udowodnij że 2n > n4 dla każdego n > 17, n∊N O ile indukcję potrafię, tak tutaj nie wiem jak to dobrze zapisać
20 lis 17:34
PW: Prawdopodobnie "indukcję potrafisz", gdy trzeba udowodnić równość. Dowód nierówności wymaga szacowania − pokazania, że coś jest większe od prawej strony. 1° Zaczynamy sprawdzanie od n=18: 218 > 184 − nierówność jest prawdziwa (262144 > 104976) Prawdę mówiąc nierówność jest prawdziwa również dla n = 17: 131072>83521. 2° Zakładamy prawdziwość nierówności dla n = k, k>17, to znaczy że 2k > k4 3° Teza indukcyjna: przy założeniu 2° prawdziwa jest nierówność dla n=k+1: (*) 2k+1 > (k+1)4. Tak to jest "dobrze zapisać". Dowód indukcyjny polega na pokazaniu, że lewa strona (*) jest większa od prawej. Wszystkie chwyty dozwolone.
20 lis 19:12
jc: Mnożąc obie strony równania 2n > n4 przez 2n4 > (n+1)4 otrzymujemy 2n*2n4 > n4(n+1)4 lub po skróceniu 2n+1 > (n+1)4 Nierówność 2n4 > (n+1)4 jest równoważna nierówności (42−1)n > 1 prawdziwej dla n ≥ 6.
20 lis 19:24
Marcin: Dziękuję bardzo, już rozumiem emotka
20 lis 19:34
PW: I sam widzisz − bez dużego doświadczenia uczeń tego nie wymyśli, szacowanie jest trudne.
20 lis 19:39