Wykaż, że iloczyn liczby k i 4 kolejnych liczb naturalnych dzieli się przez 24 Frajvald: Witam, mógłby ktoś pomóc z takim zadaniem?: Niech k będzie pewną liczbą naturalną dodatnią. Wykaż, że iloczyn liczby k i czterech kolejnych liczb naturalnych następujących po k jest podzielny przez 24 oraz że w zapisie dziesiętnym otrzymanego iloczynu występuje co najmniej jedno zero. Z wymnożenia k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4) wyszło mi k5+5k2(2k2+7k+10)+24k Nie wiem jak z tym dalej ruszyć, mógłbym napisać że skoro są to cztery kolejne liczby naturalne to jest wśród nich co najmniej jedna liczba podzielna przez 2, przez 3 i przez 4 a liczba podzielna przez 2,3 i 4 jest podzielna przez 24,ale czy taki opis wystarczy? No i co z tym zerem w zapisie?
19 lis 12:36
Adamm:
 
nawias
k+4
nawias
nawias
4
nawias
 
nawias
k+4
nawias
nawias
4
nawias
 
k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4) = 24
, a
∊Z
   
19 lis 13:18
Frajvald: Sorki ale nie do końca rozumiem to rozwiązanie, po pierwsze jest jakaś metoda na przekształcanie takich iloczynów na symbol Newtona? I rozumiem że taki zapis udowadnia podzielność przez 24 ale czy udowadnia też obecność przynajmniej jednego zera w zapisie
 
nawias
k+4
nawias
nawias
4
nawias
 
dziesiętnym? Czy obecność zera jest już udowodniona przez to że po rozwiązaniu 24
  
wychodzi k4+10k3+35k2+50k+24 czyli przynajmniej jedna liczba będzie mnożona przez 10 czyli zawsze będzie jedno zero?
19 lis 13:57
Maciess: Wśród 5 kolejnych liczb naturalnych zawsze występują przynajmniej 2 kolejne liczby parzyste i przynajmniej jedna liczba podzielna przez 3. Jedna z tych parzystych jest podzielna przez 4, więc ich iloczyn podzielny przez 8. Dodatkowo liczba podzielna podzielna przez 3 i masz swoją podzielność przez 24. A tu ci rozwinę zapis Adama.
 4!*k! (k+4)! 
k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)=k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)*

=4!*k*

=
 4!*k! 4*k! 
 
nawias
k+4
nawias
nawias
4
nawias
 
nawias
k+4
nawias
nawias
4
nawias
 
=4!*k*
=24k
   
Adamowi się "k zjadło" emotka Symbol Newtona zawsze jest liczbą całkowitą, więc masz twoj iloczyn przedstawiony w postaci 24*p gdzie p to jakas całkowita.
19 lis 15:14
Frajvald: Maciess dzięki wielkie już chyba rozumiem, konkretnie wyjaśniłeś, wciąż tylko nie jestem pewien jak udowodnić to ,że jest zero w zapisie dziesiętnym ale oprócz tego już czaje
19 lis 16:07
jc:
 
nawias
k+4
nawias
nawias
5
nawias
 
k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)=120*
  
Wielokrotność 120.
19 lis 16:12
Frajvald: jc Dzięki, teraz już wszystko rozumiem
19 lis 16:31