Podzielność liczb Kreślnik: Wykaż, że jeżeli n liczbą naturalną parzystą, to n3+20n dzieli się przez 48 (=3*24) Utknąłem przy: n=2k n=8k3 + 40k
14 lis 17:50
Blee: n = 2k 8k3 + 40k = 8k(k2 + 5) i teraz −−− podzielne przez 23 na pewno jest bo 23 = 8 1) niech k będzie parzysta ... wtedy 8k podzielne przez 24, natomiast k2+5 będzie podzielne przez 3 (patrz resztę z dzielenia przez 3) 2) niech k będzie podzielna przez 3 (i nieparzysta) ... wtedy k2+5 jest parzystą liczbą, więc jest podzielna przez 2 3) niech k będzie nieparzystą liczbą NIE PODZIELNĄ przez 3 ... wtedy k2+5 jest parzystą liczbą (podzielna przez 2) więc także podzielne przez 3 (patrz resztę z dzielenia przez 3)
14 lis 17:55
Eta: L=n3+20n= n[(n2−4)+24]= n(n−2)(n+2+24n. i n=2k L=2*2*2*(k−1)*k(k+1)+48k dodaj komentarz i masz tezę
14 lis 17:56
Eta: Poprawiam zapis n(n−2)(n+2)+24n
14 lis 17:57
Eta: 2 sposób 8k(k2+5)= 8k[(k2−1)+6]= 8(k−1)k(k+1)+48k i komentarz (jak poprzednio) uzasadniający podzielność przez 48 pierwszego składnika tej liczby
14 lis 18:07
PW: n3 + 20n = 8k3 + 40k = 8k(k2 + 5) i dalej indukcja ze względu na k∊N.
14 lis 18:09
jc:
 
nawias
k+1
nawias
nawias
3
nawias
 
8k(k2+5)=48
+ 48k
  
14 lis 18:15
Kreślnik: Czy moglibyście wyjaśnić komentarz Blee ,,Patrz na resztę z dzielenia przez 3"? Początki mojego sposobu, w którym utknąłem: Założenie: n3+20n = 48m Teza: (n+2)3+20(n+2) = 48n (n+2)3+20(n+2) = 48 + (20 + 12)n + 6n2 + n3 = 48 + (n3 + 20n) + 12n + 6n2 Możliwe wykazanie, że 12+6n2 podzielne przez 48?
14 lis 18:23
Blee: liczba k przy dzieleniu przez 3 może dawać następujące reszty: 1, 2 lub 0 (czyli podzielna przez 3) jeżeli k daje resztę 1 czyli jest postaci k = 3l + 1 to k2 = (3l+1)2 = 9l2 + 3l + 1 <−−− czyli masz resztę 1 jeżeli k = 3l + 2 to k2 = (3l + 2)2 = 9l2 + 6l + 4 = 9l2 + 6l + 3 + 1 <−−− czyli znowu masz resztę 1
14 lis 18:32
Blee: a co do Twojego rozwiązania ... a skąd wiesz czy n3 + 20n jest podzielne przez 48 Niech n=1 wtedy n3 + 20n = 21 <−−− no nijak nie jest to podzielne przez 48 (tak samo zresztą co 18 = 12 + 6 = 12n + 6n2
14 lis 18:34
Blee: aaaa ... to jest dowód indukcyjny emotka ale nadal ... przede wszystkim musisz podstawić n = 2k
14 lis 18:35
Kreślnik: W dowodzie właściwym podstawiłem jako n=2. Próbowałem z n=2k i n+2=2k+2, jednak zrezygnowałem ze względu na nieczytelne rachunki.
14 lis 18:52