Wykaż morganfreeman: Wykaż,że dla dowolnej liczby naturalnej dodatniej n prawdziwa jest nierownosc Jak to zrobić indukcyjnie(nie chce mi się tego pisać z komentarzami niech.. ale mam nadzieję,że będzie w miarę zrozumiałe emotka )?
 1 1 1 3 
(1+

)*(1+

)*..*(1+

) <

 3 32 32n 2 
sprawdzam dla n = 1
 1 3 
1 +

<

 9 2 
n = k + 1
 1 1 1 1 3 
(1+

)*(1+

)*..*(1+

)*(1+

) ?<

 3 32 32k 32k+2 2 
______
 90 
No i ten podkreślony człon,jego największa wartość jest dla k = 1 i będzie to

.dla
 89 
każdego większego k wartość będzie mniejsza
 3 
Wiemy,że ta nierówność wejściowa jest mniejsza niż

,ale nie wiem co z tym dalej
 2 
zrobić,bo przecież nie mogę chyba podstawić
 3 90 3 
czegoś najbliżej

,pomnożyć *

i stwierdzić,że jest to <

 2 89 2 
14 lis 16:21
Blee: po pierwsze
 1 
nie powinno być (1 +

) na początku
 3 
po drugie −−− nie wykażesz tego w ten sposób
14 lis 16:27
morganfreeman:
 1 
przepisałem tak jak jest w książce − czyli z (1+

) na początku.
 3 
14 lis 16:29
Blee: to w takim razie n−1 −>
 1 1 3 
(1 +

)*(1 +

) = .... <

a nie to co policzyłeś
 3 9 2 
tak czy siak ... w tym przypadku indukcja matematyczna nie będzie zbytnio pomocna
14 lis 16:33
morganfreeman:
 1 
a no fakt..zapisałem,że tak jest w ksiązce a policzyłem bez tego (1+

),dziekuje za
 3 
sprostowanie
14 lis 16:37
Blee: ja bym spróbował tak to zrobić (na chwilę obecną nie wiem czy to coś da)
 1 1 1 
(1 +

)*(1 +

)*....*(1+

) =
 3 32 32n 
 3+1 32+1 32n−1 + 1 32n+1 
=

*

*...*

*

<
 3 32 32n−1 3n 
 3+1 32+1 32n−1 + 1 32n+3 
<

*

*...*

*

=
 3 32 32n−1 3n 
 3+1 32+1 32n−1 + 1 3(32n+1+1) 
=

*

*...*

*

=
 3 32 32n−1 3n 
 3+1 32+1 4*(32n−1 + 1) 1 
=

*

*...*

*

<
 3 32 32n−1 32n 
 3+1 32+1 4*(32n−1 + 3) 1 
<

*

*...*

*

=
 3 32 32n−1 32n 
 3+1 32+1 13(32n−2 + 1) 1 1 
=

*

*...*

*

*

<
 3 32 32n−2 32n−1 32n 
...... więc otrzymujesz w liczniku 3(1 + 3(1 + 3(1 + ..... 3(1+3)....) I czy możesz z tego jakoś 'wyłuskać' lepszą postać licznika ... nie wiem
14 lis 16:45
jc:
 4*10*28 
(1+1/3)(1+1/9)(1+1/27)=

>3/2
 3*9*27 
14 lis 16:49
morganfreeman:
 1 
dlaczego

,skoro jest 2n ?
 27 
14 lis 16:50
jc: Tym bardziej dla n=2. (1+1/3)(1+1/9)(1+1/27)(1+1/81)>3/2 A potem będzie tylko gorzej.
14 lis 16:51
jc: Gdzie jest 2n? Napisałeś 2n. Jak tak, to bardzo prosto, ale na przykładzie, aby za dużo nie pisać. 1 > 1−1/38 = (1−1/34)(1+1/32)=(1−1/32)(1+1/32)(1+1/32) =(1−1/3)(1+1/3)(1+1/32)(1+1/32)(1+1/32) 1−1/3=2/3 Teraz wystarczy obie strony pomnożyć przez 3/2. Ścisły dowód to oczywista indukcja.
14 lis 16:55
morganfreeman: no tak 2n napisałem jakiś dziś zaspany jestem,no ale jak z 2n dostać 27 w mianowniku? to jest 33 przecież
14 lis 16:58
Blee: jc napisał że już przy 33 nierówność nie jest spełniona, a co dopiero później
14 lis 17:00
morganfreeman: aaa już rozumiem,myślałem,że to trzeba jakoś ubrać w liczby i słowa przy rozwiązaniu czy coś Dziękuje Wam za pomoc emotka
14 lis 17:01
Mila: (1+1/3)*(1+1/32)*(1+1/33)*(1+1/34)>(3/2)
14 lis 17:06
jc: Tam na końcu miało być 1+1/34, ale zadziałał efekt ctr−C ctr−V. Dowodzisz indukcyjnie, że (1−1/3)(1+1/3)(1+1/32)...(1+32n)=1−1/32n+1 Dalej (1−1/3)(1+1/3)(1+1/32)...(1+32n)=1−1/32n+1 < 1 (1+1/3)(1+1/32)...(1+32n) < 3/2
14 lis 17:23
jc: I znów się źle napisał ostatni czynnik. Miało być (1+1/32n).
14 lis 17:40