Zbieżność ciągu Czytodobrze: Hej, czy zerknęlibyście na rozwiązanie zadania? Zbadaj zbieżność ciągów: a) an+1 = a2n − an + 1 a1∊R+ Ciąg jest monotoniczny i rosnący, ponieważ d.d.d. n a2n > an. Ciąg jest rozbieżny do +, ponieważ dominuje składnik a2n, który lim a2n = + b) an+1 = 2*a3n − 6*a2n + 5*an a1∊[0, 2] 2*a3n − 6*a2n + 5*an = an(2*a2n − 6*an + 5) an, natomiast na podstawie punktu a) składnik w nawiasie również → , co oznacza, że ciąg jest rozbieżny do +
7 lis 17:11
Bleee: a) błędna argumentacja an2 +1 > an Bez tej jedynki bym już tak nie było (niech an < 1 i 'dupa')
 1 
A po drugie − co z tego że jest rosnący? Ciąg cn = 1 −

także i jakoś nie jest
 n 
rozbiezny.
7 lis 17:23
Bleee: b) i co z powyższego wynika? Skąd wiesz że jest rozbiezny do +?
7 lis 17:25
ABC: podpunkt a) jest źle, drugiego już mi się nie chciało sprawdzać
7 lis 17:26
Bleee: b) po drugie, Niech a1 = 0 wtedy an = 0 i masz ciąg staly
7 lis 17:28
ABC: w punkcie a) dla a1=1 też ma ciąg stały emotka
7 lis 17:29
WhiskeyTaster: Bleee, a1 ∊ R+. Ale mimo wszystko założenie a2n > an jest błędne.
7 lis 17:30
Czytodobrze: Czy mógłbym wówczas prosić o wskazówki dotyczące rozwiązania i wyjaśnienie? Podejrzewam, że podstawiam zamiast an od razu n itp. Blee − b) Istotnie, nie wiem a) Czy w założeniu nie podano, że a1 należy do R+, tak jak Whiskey wskazał Pod wpływem Waszych komentarzy nie wiem nawet, jak zacząć myśleć o tym zadaniu.emotka
7 lis 17:36
Blee: ABC −−− w a) dla a1 = 1 masz an = n emotka
7 lis 17:37
Blee: WhiskeyTaster −−−− ja nie mówię że błędną odpowiedź udzielił ... tylko że argumentacja była błędna
7 lis 17:38
Blee: a) a1 ∊ R+ ... no to niech a1 = 0.0000001 a12 < a1 <−−−− argumentacja 'z dupy'
7 lis 17:39
Czytodobrze: Dobrze, Blee, rozumiem. Czy mógłbyś pomóc mi wyjść ,,z dupy" i udzielił wskazówki odnośnie rozwiązania?
7 lis 17:42
ABC: w a) masz a2=a12−a1+1 , dla a1=1 a2=1−1+1=1 a w ogóle od rekurencji na tym forum jest Mariusz, przyjdzie i zrobi trzeba poczekać emotka
7 lis 17:44
Blee: będzie trudno −−− głęboko wlazłem a) I. niech a1 ≥ 1 wtedy a2 ≥ 1 + 1 = 2 an ≥ n (udowodnić indukcyjnie można to 'rachu ciachu') więc rozbieżny do +
7 lis 17:45
Blee: ajjj ... źle spojrzałem ... faktycznie −−− dla a1 > 1 będzie rozbieżny dla a1 = 1 masz stały a dla a1 ∊ (0,1) musisz 'popatrzeć'
7 lis 17:46
Blee: i zauważyć, że wtedy an+1 < 1 dla każdego an ∊(0,1) więc na pewno nie będzie rozbieżny (podpowiem, że będzie zbieżny do 1)
7 lis 17:47
Czytodobrze: Dziękuję za odpowiedzi. Sprawdzam dla przedziału (0, 1): a) a1 = 12 a2 = 12 ! Stały → Jak interpretować? a1 = 13 a2 = 79 a3 = 7481 a1<a2<a3 Ciąg zbieżny do 1 b) a1 = 0 a2 = 5 a3 = 50 a1 = 1 a2 = 1 Stały a1 = 2 a2 = −6 Nie wiem, co myśleć o b? Proszę o pomoc.
7 lis 22:17
Czytodobrze: ?
8 lis 04:20
Czytodobrze: Hej, poprawiłem trochę. Czy ostateczna odpowiedź to: a)
 1 dla a1∊(0,1)  
lim an = 1 dla a1 = 1
 + dla a1>1 
dla n→+ b) lim an = − dla a1 = 0 an+1 = 5 dla a1 = 1 an+1 = 1 dla a1 = 32 an+1 = 34 dla a1 = 2 an+1 = −6
8 lis 05:34
jc: f(a)=a2−a+1 = (a−1)2 + a ≥ a, a więc ciąg jest niemalejący. Jeśli a > 1, to ciąg jest rozbieżny (granicą może być tylko 1. Jeśli a < −1, to f(a) > 1 i ciąg również jest rozbieżny. Jeśli 0≤a≤1, to f(a)≤1 i ciąg ma granicę bo jest niemalejący i ograniczony. Granicą jest 1.
8 lis 10:51
jc: Pisałem a, ale chodziło o a1. Pierwszy ciąg jest zbieżny (do liczby 1) ⇔ a1 ∊ [0, 1].
8 lis 12:05
Blee: ja bym proponował inne podejście a) an+1 = an2 − an +1 I. jeżeli an > 1 to an2 > an ... więc an+1 > an + 1 > 1 wniosek −−−− lim an = + II. jeżeli an = 1 to an+1 = 1 −> ciąg stały (od 'n' dla którego an = 1) III. jeżeli an ∊(0,1) to an2 < an ... więc an+1 = an2 − an + 1 < 1 więc, jeżeli kiedykolwiek an < 1 to już nigdy an+k ≥ 1 (dla dowolnego k∊N) //podajemy szacowanie z góry: ta uwaga w połączeniu z (I) oznacza, że: jeżeli a1 > 1 to an > 1 (dla dowolnego n) jeżeli a1 < 1 to an < 1 (dla dowolnego n) więc gdy a1<1 to suan ≤ 1 //wykazujemy istnienie granicy: rozpatrujemy tylko sytuację, gdzie a1 ∊(0,1) f(a) = a2 − a + 1 f'(a) = 2a − 1 −> f'(a) = 0 ⇔ a = 1/2 i mamy tu minimum lokalne f(1/2) = 3/4 czyli: dla dowolnego an ∊ (0,1) ; an+1 ≥ 0.75 −> an+2 ≥ 0,8125 −> an+3 > an+2 (bo funkcja jest rosnąca na tym przedziale) wniosek −−− ciąg an jest rosnący (dla an ∊ (0,1)) i ograniczony z góry przez '1', więc będzie zbieżny jako, że a1 ∊ (0,1) i mamy ciąg ciąg rosnący to lim an = 1
8 lis 12:52
Blee: ad a) albo jeszcze prościej: f(a) = a2 − a + 1 zakładamy istnienie granicy i wykażemy, że będzie to g = 1 g = g2 − g + 1 −> g2 − 2g + 1 = 0 −> (g−1)2 = 0 −> g = 1
8 lis 12:56
Blee: b) analogicznie I a1 = 0 a2 = 0 −> an = 0 −> ciąg stały, zbieżny II a1 = 2 a2 = 24 − 6*22 + 5*2 = 2 −> an = 2 −> ciąg stały, zbieżny III a1 ∊ (0,2) \ {1} an+1 = 2an3 − 6an2 + 5an f(a) = 2a3 − 6a2 + 5a f'(a) = 6a2 − 12a + 5
 6 6 
f'(a) = 0 −> a = 1 −

; a = 1 +

 6 6 
tym razem mamy (odpowiednio) maksimum i minimum lokalne
 6 6 6 
f(1 −

) = 1 +

< 1 +

 6 9 6 
 6 6 6 
f(1 +

) = 1 −

> 1 −

 6 9 6 
 6 6 
więc dla dowolnego an ∊ (0,2) −> an+1 ∊ ( 1 −

; 1 +

) i już z
 6 6 
niego 'nie wypadnie'
 6 6 
czyli tenże ciąg jest ograniczony z góry i z dołu przez 1 −

oraz 1 +

 9 9 
niestety nie jest to ciąg monotoniczny ... ale będzie zbieżny (sprawdzamy) g = 2g3 − 6g2 + 5g 2g3 − 6g2 + 4g = 0 g(g−1)(g−2) = 0 czyli mamy mamy trzy możliwe granice:
 6 6 
g = 0 <−−− odpada, bo wiemy, że an+1 ∊ (1 −

, 1 +

)
 9 9 
g = 1
 6 6 
g = 2 <−−− odpada, bo wiemy, że an+1 ∊ (1 −

, 1 +

)
 9 9 
czyli dla a1 ∊ (0,2) \ {1} ciąg jest zbieżny (ale nie jest monotoniczny) do g = 1 IV a1 = 1 (to wszyło 'w praniu' ) a2 = 2 − 6 + 5 = 1 −> an = 1 −> ciąg stały, zbieżny
8 lis 13:07
Blee: PS .... okey −−−−− z tym g = 2g3 − 6g2 + 5g więc lim an = g = 1 to się trochę pośpieszyłem (to wystarczy gdyby ciąg był monotoniczny, ale nie jest) tutaj pojawia się pytanie −−− jak bardzo chcemy się 'bawić w udowadnianie' (jaki to jest kierunek studiów) możesz np. podejść do tego jak zrobiłem w poprzednim podpunkcie i wykazać, że an + 2j > an+2 > an lub an + 2j < an+2 < an (w zależności od 'punktu startowego a1' oraz tego czy n jest parzyste czy nieparzyste) czyli wykazać, że podciągi ciągu an będą monotoniczne ... a monotoniczny + ograniczony = zbieżny więc podciągi zbieżne ... to muszą być zbieżne do g = 1 ... więc są zbieżne do tej samej granicy ... więc ciąg an jest zbieżny go g = 1 (to tak w mocnym skrócie napisałem sposób wnioskowania)
8 lis 13:16