Okres podstawowy 5-latek: Wyznaczyc okres podstawowy funkcji
 x 1 
a) y=cos

= cos

 2 x 
 1 
b) y=tg

x
 3 
 π 
c) y=sin(x+

)
 2 
tutaj rozumiem ze mozna skorzystac ze wzorow redukcyjnycj i napisac
 π 
y=sin(

+x)= cosx i tutaj okres podstawowy to T=2π
 2 
d) y=|sinx|
 3 
e) y=1+2sin

x
 2 
 π 
f) y=1−3 sin(3x−

)
 4 
Jak to obliczyc ? Tylko spokojnie , po kolei, bez nerwow .
7 lis 16:39
5-latek:
 1 
a) y=cos

x oczywiscie .
 2 
7 lis 16:41
6latek: Ponawiam prosbe zwlaszcza do przykladu f
7 lis 18:18
Maciess: a) T=4π b)T=3π c) T=2π d) T=2π e) T=4/3*π f) T=2/3*π
7 lis 18:36
6latek: W duszy ma takie pisanie Nic mi to nie dalo
7 lis 18:36
6latek: Wybacz kolego ale to ja mam tak napisane w odpowiedzi
7 lis 18:37
Maciess: Próbowałeś rysować wykresy takich funkcji? Chwila zabawy i dowiadujesz co się dzieje z okresem podstawowym emotka A raczej odkrywasz zasade
7 lis 18:45
Adamm: Pomocne twierdzenie. Twierdzenie. Jeśli f(x) ma okres T, a>0, to f(ax) ma okres T/a. Dodatkowo, jeśli T jest okresem podstawowym, to T/a jest okresem podstawowym. Dowód. Jeśli T jest okresem dla f(x), to f(a(x+T/a)) = f(ax+T) = f(ax), więc T/a jest okresem dla f(ax). Załóżmy, że T jest podstawowy dla f(x). Wtedy gdyby T/a nie był podstawowy dla f(ax), to istniałby okres R>0, R<T/a dla f(ax). Wtedy f(ax) = f(a(x+R)) = f(ax+aR), więc aR byłby okresem dla f(x). Ale to niemożliwe, aR<T a T był podstawowy.
7 lis 18:50
Maciess: Ale moze taki sposób do ciebie przemówi mamy funkcje sin(x) jeśli do argumentu dodam okres podstawowy to nie zmieni się wartość czyli sin(x)=sin(x+2π) no to teraz sin(4x+2π)=sin(4(x+π/2)) czyli musze dodac π/2 żeby wartość nie zmieniła sie. Czyli to nasz szukana okres podstawowy.
7 lis 18:52
6latek: Nie probowalem rysowac .
  
Adamm zobaczylem na innej stronie i wiem ze okresem podstawowym funkcji sinax jest T=

 a 
ja potrzebuje obliczen a tych jak na razie nie dostalem
7 lis 18:54
Adamm: no, to żaden dowód że on jest podstawowy, po prostu pokazałeś że jest pewnym okresem to że jest podstawowy powinno być dosyć widoczne, bo jak można inaczej znaleźć okres podstawowy ale jeśli chce się uprawiać matematykę, to nie można się bać twierdzeń
7 lis 18:54
Adamm: @6latek nie potrzebujesz obliczeń, powołaj się na fakt że sinus jest okresowy z okresem podstawowym 2π
7 lis 18:55
6latek: tylko przyklad f mnie intersuje na razie
7 lis 18:55
Mila: 1) f(x)= cos(x) ma okres zasadniczy T=2π g(x)=1+cosx ma okres T=2π bo translacja nie zmienia okresu p(x)=1−3cosx ma okres T=2π bo masz wydłużenie wykresu, symetrię względem oX, przesunięcie wykresu o 1 jednostkę w górę. s(x) =cos(3x) , T=2π− okres f(x)=cosx
  
Ts=

 3 
ogólnie : f(x) =sin(ax), g(x)=cos(ax)
  
T=

, a≠0
 a 
Tak wyjdzie jeżeli obliczysz okres z definicji: f(x)=f(x+T) ================
 π 
f) f(x)=1−3cos(3x−

) ,
 4 
 π 
(−

przesuniecie wykresu w prawo, nie zmienia okresu)
 4 
  
T=

 3 
7 lis 18:57
Adamm: Twierdzenie. Jeśli f(x) ma okres T, to a, b≠0 są dane, to a+bf(x) też ma okres T. Jeśli T jest podstawowy dla f(x), to jest podstawowy dla a+bf(x). Dowód. a+bf(x+T) = a+bf(x) więc T jest okresem dla a+bf(x) Załóżmy że T jest okresem podstawowym dla f(x). Wtedy jest okresem dla a+bf(x). Gdyby istniał okres T>R>0 dla a+bf(x), to ponieważ tak samo jak a+bf(x) jest złożeniem funkcji liniowej a+bx i f(x), tak samo f(x) jest złożeniem pewnej funkcji liniowej i a+bf(x), więc z tego co pokazaliśmy wcześniej mamy że R jest okresem dla f(x). Ale T byłby podstawowy, więc nie może istnieć taki okres, sprzeczność dowodzi że T jest okresem podstawowym dla a+bf(x).
7 lis 19:03
Adamm: Ale T jest podstawowy dla f(x).
7 lis 19:04
Adamm: Równie proste twierdzenie, które jest tak dosyć oczywiste, ale zapiszę je. Twierdzenie. Jeśli T jest okresem dla f(x), to również dla f(x+a). Jeśli T jest podstawowy dla f(x), to i dla f(x+a). Dowód. Jeśli T jest okresem dla f(x), to f((x+T)+a) =f((x+a)+T) = f(x+a). Załóżmy że T jest podstawowy dla f(x). Jeśli 0<R<T byłby okresem dla f(x+a), to byłby okresem dla f(x+a−a) = f(x). A to niemożliwe bo T jest podstawowy.
7 lis 19:08
6latek: Witam i dziekuje bardzo emotka zaraz przepisuje do zeszytu Adamm rowniez bardzo dziekuje emotka
7 lis 19:11
Adamm: No i teraz używając tych 3 twierdzeń, od razu mamy większość przykładów rozwiązanych, jeśli tylko wiemy że 2π są okresami podstawowymi dla sinusa/cosinusa a π dla tangesa/cotangesa. Jedyny przykład sprawiający pewne problemy to przykład d) |sin(x)| jest okresowa z okresem π, bo |sin(x+π)| = |−sin(x)| = |sin(x)| Trzeba pokazać że to okres podstawowy. Gdyby 0<R<π był okresem, to 0 = |sin(R)|, ale |sin(R)|>0, sprzeczność.
7 lis 19:12
6latek: na dzisiaj mi wystarczy .
7 lis 19:17
6latek: Jeszcze jedno pytanie Nikt nie powiedzial ze musi byc tak prosto mamy taka funkcje
 π 1 
y=2+5sin(5x+

+tg

x
 2 3 
Okresem pierwszej funkcji jest
 2 
T=

π
 5 
Okresem drugiej funkcji jest T=3π Jaki bedzie okres podstawowy takiej funkcji ?
7 lis 21:03
6latek:
7 lis 21:30
a@b:
7 lis 21:38
6latek: OK. Tylko ze Ty to wiesz dlaczego tak a ja dalej nie wiem
7 lis 21:40
Mila:
7 lis 21:42
Mila: Wypisz wielokrotności okresów dla I i drugiej funkcji.
7 lis 21:43
6latek: (0,4), (0,8) (1,2) (1,6) 3 (6) (9) (12)
7 lis 21:46
Adamm: Twierdzenie. Jeśli f(x) ma okres k1*T, a g(x) ma okres k2*T, gdzie k1, k2 to liczby całkowite, to f(x)+g(x) ma okres NWW(k1, k2)*T. Dowód. Oznaczmy l = NWW(k1, k2). Wtedy l = k1*m1 = k2*m2 dla pewnych m1, m2 całkowitych (ponieważ l jest wspólną wielokrotnością k1 i k2). Ale całkowita krotność okresu, też jest okresem. Zatem f(x+l*T) = f(x+m1*k1*T) = f(x) oraz g(x+l*T) = g(x+m2*k2*T) = g(x). Stąd f(x)+g(x) ma okres l*T.
7 lis 21:49
a@b:
    
dla pierwszej :

,

*2,.......,

*15 =,
 5 5 5 
dla drugiej : 3π,
7 lis 21:50
Adamm: To co Mila i a@b stosują to właśnie to twierdzenie. Pokazać formalnie że 6π jest okresem podstawowym byłoby dosyć trudne, więc polecam sobie odpuścić.
7 lis 21:57
6latek: dziekuje za wytlumaczenie emotka
7 lis 21:59
6latek: Jutro Milu biore sie za wyprowadzanie wzorow redukcyjnych
7 lis 22:41
Mila: emotka Dobranocemotka
7 lis 23:02
6latek: dobranocemotka
7 lis 23:15