ciagi i granice aj: Zapisz w najprostszej postaci an = 12 + 22 + 32 + ... + n2.
6 lis 18:56
ABC:
n(n+1)(2n+1) 

6 
6 lis 18:58
aj: Skąd ten wzór?
6 lis 18:58
ABC: wyprowadzałem go wiele razy to pamiętam
6 lis 18:59
aj: A może chociaż jakaś podpowiedź, z czego skorzystać, by go wyprowadzić?
6 lis 19:00
Adamm:
 
nawias
k
nawias
nawias
2
nawias
 
nawias
k
nawias
nawias
1
nawias
 
k2 = 2
+
   
 
nawias
k
nawias
nawias
2
nawias
 
nawias
k
nawias
nawias
1
nawias
 
nawias
n+1
nawias
nawias
3
nawias
 
nawias
n+1
nawias
nawias
2
nawias
 
an = ∑k=1n [2
+
] = 2
+
     
6 lis 19:02
ABC: sposobów jest wiele, było o tym niedawno na forum, można sumą teleskopową czy też zaburzaniem sum, można od strony wielomianów interpolacyjnych, a można funkcji zespolonych nawet użyć emotka
6 lis 19:03
Adamm: no, ABC a ten sposób widziałeś? moim zdaniem najlepszy
6 lis 19:06
ABC: no technicznie to elegancki jest emotka
6 lis 19:09
jc: To też wzór teleskopowy:
nawias
n
nawias
nawias
1
nawias
 
nawias
n
nawias
nawias
2
nawias
 
nawias
n−1
nawias
nawias
2
nawias
 
=
   
nawias
n
nawias
nawias
2
nawias
 
nawias
n
nawias
nawias
3
nawias
 
nawias
n−1
nawias
nawias
3
nawias
 
=
   
6 lis 19:18
Mila: Wykorzystujemy sumę :∑(k=1do n)k3 1) Sn=∑ nk=1(k3) 2) Sn+1=Sn+(n+1)3 lub Sn+1=1+∑ k=2n+1(k3)=1+∑ k=1n(k+1)3 1+∑ k=1n(k+1)3)=Sn+(n+1)3⇔ 1+∑ k=1n(k3+3k2+3k+1)=Sn+n3+3n2+3n+1⇔ Sn+3*∑ k=1n(k2)+3*∑ k=1n(k) +n=Sn+n3+3n2+3n
 n*(n+1) 
3*∑ k=1n(k2)+3*

=n3+3n2+2n
 2 
 3n2+3n 
3*∑ k=1n(k2)=n3+3n2+2n−

 2 
 2n3+3n2+n 
3*∑ k=1n(k2)=

 2 
 n*(n+1)*(2n+1) 
k=1n(k2)=

 6 
==========================
6 lis 22:42
Mariusz: Na ważniaku mają , proponują tam między innymi rachunek różnicowy Ja proponowałbym zapisać sumę w postaci równania rekurencyjnego i rozwiązać je np funkcją tworzącą a0=0 an=an−1+n2 Teraz możemy to równanie sprowadzić do jednorodnego zwiększając jego rząd a0=0 an=an−1+n2 an=an−1+n2 an−1=an−2+(n−1)2 an−an−1=an−1−an−2+n2−(n2−2n+1) an=2an−1−an−2+2n−1 an−1=2an−2−an−3+2(n−1)−1 an−an−1=2an−1−an−2−2an−2+an−3+2n−1−(2n−3) an=3an−1−3an−2+an−3+2 an−1=3an−2−3an−3+an−4+2 an−an−1=3an−1−3an−2+an−3−3an−2+3an−3−an−4 a0=0 a1=1 a2=5 a3=14 an=4an−1−6an−2+4an−3−an−4 A(x)=∑n=0anxnn=4anxn=∑n=44an−1xn+∑n=4−6an−2xn+ ∑n=44an−3xn+∑n=4−an−4xnn=4anxn=4x(∑n=4an−1xn−1)−6x2(∑n=4an−2xn−2) +4x3(∑n=4an−3xn−3)−x4(∑n=4an−4xn−4) ∑n=4anxn=4x(∑n=3anxn)−6x2(∑n=2anxn) +4x3(∑n=1anxn)−x4(∑n=0anxn) ∑n=0anxn−0−x−5x2−14x3=4x(∑n=0anxn−0−x−5x2) −6x2(∑n=0anxn−0−x)+4x3(∑n=0anxn−0)−x4(∑n=0anxn) A(x)−x−5x2−14x3=4x(A(x)−x−5x2)−6x2(A(x)−x)+4x3A(x)−x4A(x) A(x)(1−4x+6x2−4x3+x4)=x+5x2+14x3−4x2−20x3+6x3 A(x)(1−4x+6x2−4x3+x4)=x2+x
 x2+x 
A(x)=

 (1−x)4 
(1−x)2=1−2x+x2 (1−x)2−3(1−x)=−2+x+x2 (1−x)2−3(1−x)+2=x2+x
 1 3 2 
A(x)=


+

 (1−x)2 (1−x)3 (1−x)4 
 1 
n=0xn=

 1−x 
d d 1 

(∑n=0xn)=

(

)
dx dx 1−x 
 −1 
n=0nxn−1=

(−1)
 (1−x)2 
 1 
n=1nxn−1=

 (1−x)2 
 1 
n=0(n+1)xn=

 (1−x)2 
 1 
n=0(n+1)xn=

 (1−x)2 
d d 1 

(∑n=0(n+1)xn)=

(

)
dx dx (1−x)2 
 −2 
n=0(n+1)nxn−1=

(−1)
 (1−x)3 
 2 
n=1(n+1)nxn−1=

 (1−x)3 
 2 
n=0(n+2)(n+1)xn=

 (1−x)3 
 2 
n=0(n+2)(n+1)xn=

 (1−x)3 
d d 2 

(∑n=0(n+2)(n+1)xn)=

(

)
dx dx (1−x)3 
 −3 
n=0(n+2)(n+1)nxn−1=2

(−1)
 (1−x)4 
 3 
n=1(n+2)(n+1)nxn−1=2

 (1−x)4 
 6 
n=0(n+3)(n+2)(n+1)xn=

 (1−x)4 
 1 3 2 
A(x)=


+

 (1−x)2 (1−x)3 (1−x)4 
 3 
A(x)=∑n=0(n+1)xn+∑n=0

(n+2)(n+1)xn+
 2 
 1 
n=0

(n+3)(n+2)(n+1)xn
 3 
 3 1 
A(x)=∑n=0((n+1)−

(n+2)(n+1)+

(n+3)(n+2)(n+1))xn
 2 3 
 3 1 
an=(n+1)−

(n+2)(n+1)+

(n+3)(n+2)(n+1)
 2 3 
 3 1 
an=(n+1)(1−

(n+2)+

(n+3)(n+2))
 2 3 
 3 1 
an=(n+1)((1−

n−3+

(n2+5n+6))
 2 3 
 1 1 
an=(n+1)(

n2+

n+1−3+2)
 3 6 
 1 1 
an=(n+1)n(

n+

)
 3 6 
 1 
an=

(2n+1)(n+1)n
 6 
6 lis 23:13