RELACJE RÓWNOWAŻNOŚCI bluee: Sprawdzic, czy ponizsze relacje sa relacjami równowaznosci a) W R okreslamy x ~ y ⇔, |x| = |y| ; b) W R okreslamy xRy ⇔, x ≥ y; c) W Z okreslamy k ≡ m(mod 7) ⇔, 7|(k − m): d) W R2 okreslamy (x; y) ~ (u; v) ⇔, x2 + y2 = u2 + v2; e) W R2 okreslamy (x; y) ~ (u; v) ⇔, x = u; f) W R2 okreslamy (x; y) ~ (u; v) ⇔, y = v; g) W R2 okreslamy (x; y)R(p; q) ⇔, 2x + q = 2p + y; h) W N2 okreslamy (k; l)ϱ(p; q) ⇔, k + q = p + l; i) W Z X N* okreslamy (k; l) ≡ (p; q) ⇔, k * q = p * l;
8 paź 14:09
Saizou : Wypisz sobie warunku relacji równoważności (symetryczność, zwrotność i przechodniość) i sprawdzaj je po kolei dla każdego podpunktu
8 paź 14:12
bluee: Dla zbioru X2 i relacji R: relacja zwrotnej to ∀x∊X xRx
8 paź 14:15
bluee: Mam rozumieć, że zachodzi taka relacja jeżeli wszytskie x należą do zbioru X?
8 paź 14:16
Saizou : Pokażę ci pierwsze. Mamy relację określoną na zbiorze liczb rzeczywistych x~y ⇔ |x|=|y| 1) zwrotność dla każdego x∊X xRx x~x⇔|x|=|x| to jest prawdziwe dla każdego x rzeczywistego 2) symetryczność dla każdego x, y ∊R xRy⇒yRx x~y⇔|x|=|y| |x|−|y|=0 −(|y|−|x|)=0 |y|−|x|=0 |y|=|x| 3) przechodniość dla każdego x, y, z∊R (xRy ∧ yRz) ⇒ xRz x~y ⇔ |x|=|y| y~z ⇔ |y|=|z| , zatem |x|=|z|
8 paź 14:25
bluee: Nie przemawia to do mnie.
8 paź 16:17
Pan Kalafior: Mamy funkcję f:X→Y, i relację równoważności ∼ na zbiorze Y, to relacja x ≈ y na X wtedy, tylko wtedy gdy f(x) ∼ f(y) jest relacją równoważności. Tutaj f:R→R, f(x) = |x| i relacją∼ jest równość. Można tego twierdzenia użyć do przykładów a, d, e, f, g, h, i. Dowód. Jeśli x∊X, to z własności równości, f(x) = f(x), więc f(x) ∼ f(x), bo ∼ to relacja równoważności skąd x ≈ x. Jeśli x ≈ y, to f(x) ∼ f(y), zatem f(y) ∼ f(x) bo to relacja równoważności, więc y ≈ x. Jeśli x ≈ y, y ≈ z, to f(x) ∼ f(y) i f(y) ∼ f(z) skąd f(x) ∼ f(z) więc x ≈ z.
8 paź 16:48
Pan Kalafior: Właściwie to do c też, jeśli zdefiniujemy f(x) jako resztę z x przez 7, i zauważymy, że 7|(x−y) ⇔ f(x) = f(y)
8 paź 16:52
bluee: czy powinno być tak: a). symetryczna b). brak relacji równoważności c). przechodnia d).symetryczna przechodnia e). przechodnia f). przechodnia h). symetryczna i). symetryczna
8 paź 17:17
bluee: Gdzie powinna być relacja zwrotna?
8 paź 17:18
Pan Kalafior: Za dużo tekstu, co nie?
8 paź 17:44
bluee: Czy pisząc równość masz na myśli relację zwrotną?
8 paź 17:45
Pan Kalafior: Tak, a pomarańcze to takie banany.
8 paź 17:49
bluee: Nie, nie za dużo. Po prostu nie było mnie na wykładzie, bo się rozchorowałam i dostałam zadania do domu. I próbuję jakoś to rozgryść.
8 paź 17:53
bluee: Co do pomarańczy i bananów to raczej przypadłość daltonistów
8 paź 17:54
bluee: Na razie miałam tylko pojęcie relacji zwrotnej, przechodniej i symetrycznej. Więc zanim przejdę do innych najpierw spróbuję ogarnąć te.
8 paź 17:55
bluee: Tak więc dla a). jest to relacja symetryczna ponieważ dla każdej liczby x, która nie jest równa y można za y podstawić liczbę y która będzie przeciwna do x. Czy to dobry tok rozumowania?
8 paź 17:59
Pan Kalafior: To co udowodniłem jest dosyć fajne samo w sobie. Mamy pewną własność, że dla funkcji f można zdefiniować relację x ≈ y ⇔ f(x) = f(y) Odwrotnie, mając relację równoważności ≈, można zdefiniować f jako funkcję f(x) = [x] gdzie [x] = {y : x ≈ y}, i wtedy x ≈ y wtedy i tylko wtedy gdy f(x) = f(y). Twierdzenie. Relacja ≈ na X jest relacją równoważności, wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje funkcja f na X, taka że x ≈ y ⇔ f(x) = f(y).
8 paź 18:16
Saizou : Panie Kalafiorze tutaj raczej chodzi o to, żeby zbadać odpowiednie własności i wyciągnąć wniosek, że relacja jest relacją równoważności emotka Bo to dopiero początek, sądząc po zadaniach
8 paź 18:21
ABC: bluee relacja symetryczna oznacza że jeśli pomarańcza jest w relacji z bananem to banan musi być też w relacji z pomarańczą
8 paź 18:25
ite: 🍌◻🍊 wttw 🍊◻ 🍌 ABC mistrzowskie podejście dydaktyczne
8 paź 18:32
bluee: ABC Dzięki za łopatologiczne podejście do sprawy. Patrząc dalej: Relacja jest zwrotna jeżeli banan jest w relacji sam ze sobą. Przechodnia jeżeli banan jest w relacji z cytryną, cytryna w relacji z pomarańczą z czego wynika, że banan jest w relacji pomarańczą. Dobrze
8 paź 18:42
ABC: emotka
8 paź 18:42
bluee: A). Relacja symetryczna B). Brak relacji równoważności
8 paź 19:16
ABC: bluee ale jak rozumiem pytanie było które z tych 9 relacji podanych są relacjami równoważności? więc odpowiedź a)relacja symetryczna jest niekompletna, z kolei jeśli twierdzisz że relacja nie jest równoważności, to podaj którego warunku nie spełnia, najlepiej z przykładem w b) możesz napisać że nie jest symetryczna bo 7≥3 ale nieprawda że 3≥7
8 paź 19:27
bluee: Dzięki za wskazówkę emotka
8 paź 19:53
bluee: Wiem, że muszę przedstawić dowód. Chciałam się upewnić, że stawiam właściwą tezę.
8 paź 19:54
bluee: A). relacja symetryczna −3≠3⇔|−3|=|3| 3≠−3⇔|3|=|−3| B). Relacja nie jest równoważna 10≥1 prawda 1 1≥10 fałsz 0 sprzeczność c). relacja przechodnia 7a+k=m 7a=k−m 7|(k−m) prawda 1 d).relacja symetryczna (−9,2)~(9,−2)⇔81+4=81+4 (9,−2)~(−9,2)⇔81+4=81+4
8 paź 20:09
bluee:
8 paź 21:29
ite: Musisz wykazać, że dana relacja ma podane 14:12 własności, tak jak zrobił to Saizou, a nie na przykładach. Poszukaj w necie podobnych zadań i poczytaj.
8 paź 21:45
Saizou : Konkluzja jest taka: jeśli relacja R ma jakąś własność, to musisz ją pokazać formalnie jeśli relacja R nie ma jakiejś własności wystarczy kontrprzykład
8 paź 22:17
Saizou : b) xRy ⇔ x≥y 1. zwrotność xRx⇔x ≥ x jest to prawda dla każdego x rzeczywistego 2. symetria relacja nie jest symetryczna ponieważ dla x=1 oraz y=0 mamy (xRy) 1≥0 ale nie prawdą jest że 0≥1 (yRx) 3. przechodniość xRy ⇔ x ≥ y yRz ⇔ y ≥ z, zatem x ≥ z czyli xRz relacja przechodnia
8 paź 22:26
bluee: Jak w d, e i f mam rozumieć, że współrzędne są ~, skoro mają różne wartości?
9 paź 11:24
ICSP: d) Możesz to rozumieć np tak: Masz dwa punkty na płaszczyźnie (x,y) oraz (u , v) i mówisz, że są one ze sobą w relacji gdy ich odległość od (0,0) jest taka sama. Czyli np punkty (1,1) i (−1 , −1) są ze sobą w relacje, ale już punkty (2 , 1) i (2 , 2) nie są. Postaraj się zrozumieć co dana relacja oznacza a dopiero potem udowadniaj jej własności. Przy zrozumieniu łatwiej o ewentualny kontrprzykład.
9 paź 11:29
ite: ICSP klasy abstrakcji będą tworzyć punkty należące do współśrodkowych okręgów o tych samych promieniach, tak?
9 paź 11:53
ICSP: Można tak powiedzieć. Wybierasz punkt na płaszczyźnie powiedzmy P. Ustalasz środek okręgu na punkt (0,0) i promień obierasz tak aby okrąg przechodził przez punkt P. Wtedy klasą abstrakcji dla punktu P będzie dowolny punkt który leży na okręgu.
9 paź 13:49
ite: to pytam dalej : ) e) w R 2 określamy (x; y) ~ (u; v) ⇔, x = u tu klasą abstrakcji dla punktu P będzie dowolny punkt należący do prostej przechodzącej przez P i równoległej do osi OX f) w R 2 określamy (x; y) ~ (u; v) ⇔, y = v; klasą abstrakcji dla punktu P będzie dowolny punkt należący do prostej przechodzącej przez P i równoległej do osi OY?
9 paź 13:55
ite: *odwrotnie zapisałam osie
9 paź 13:56
ICSP: e) klasami abstrakcji będą proste pionowe ( ma się zgadzać tylko pierwsza współrzędna) f) klasami abstrakcji będą proste poziome ( mają się zgadzać drugie współrzędne)
9 paź 13:58
ite: dziękuję za cierpliwe odpowiedzi
9 paź 14:00
ite: A czy w g) (x; y)R(p; q) ⇔ 2x+q= 2p+y klasami abstrakcji będą proste o współczynnikach kierunkowych a=−2 ?
9 paź 15:11