Zadanie WhiskeyTaster: Mam pewne pytanie o zadanie: Ustal, ilu teoretycznie wyrazów szeregu
 (−1)k 
π = 4∑k=0

potrzeba, aby obliczyć wartość π z błędem mniejszym niż 10−5.
 2k+1 
Czy jest jakiś sposób, by to wyznaczyć bez użycia komputera?
4 paź 11:15
jc: Wydaje mi się, że sumy częściowe na zmianę są większe − mniejsze od sumy szeregu.
 1 
różnica pomiędzy kolejnymi sumami =

−U{2k+1}=U{2}{{4k2−1}
 2k−1 
Wszystko mnożymy przez 4, wiec 2/k2 < 10−5 k2 > 2*105 k > 500 powinno wystarczyć
4 paź 11:56
jc:
1 1 2 


=

2k−1 2k+1 4k2−1 
4 paź 11:57
WhiskeyTaster: Okej, czyli tak w zasadzie szukamy dla jakich k różnica między kolejnymi sumami częściowymi jest mniejsza od zadanej wartości? Tylko zastanawia mnie, jak to sobie wyobrazić. Mamy pewną sumę częściową SN, która zbiega do g przy N → , tak? I tak samo jest dla tego szeregu, że zbiega on do π. Ale dla pewnych argumentów po prostu będzie ta suma częściowa mniejsza od π o tyle, o ile chcemy?
4 paź 12:33
jc: Nie, ale w tym przypadku chyba tak.
4 paź 12:36
jc: Poza tym chyba bzdury napisałem emotka, ale teraz już wychodzę ....
4 paź 12:39
WhiskeyTaster: W porządku, jeśli znajdziesz chwilę czasu i chęci, byłbym wdzięczny. Nie spieszy się.
4 paź 12:46
Słoniątko: tu masz w okolicach 9 strony w tym linku Lemat 1 na ten temat emotka http://maciej.grzesiak.pracownik.put.poznan.pl/W-ANA-szeregi.pdf
4 paź 16:43
WhiskeyTaster: O, dziękuję, Słoniątko, teraz powinienem sobie z tym poradzić.
4 paź 18:36
jc: grupujemy po 2
 1 1 
suma = ∑k=0 (


)
 4k+1 4k+3 
 1 1 
Resztan = ∑k=n (


)
 4k+1 4k+3 
 1 1 1 
< ∑k=n (


) =

 4k 4k+4 4n 
 1 
W przypadku sumy nieparzystej liczby składników błąd zwiększy się od

.
 4n+1 
4 paź 20:35
WhiskeyTaster: Sprawdzę to jakoś później i dam znać. Dziękuję za pomoc.
5 paź 00:45