zbieżność jednostajna szeregu Marcel: zbadać zbieżność jednostajną szeregu funkcyjnego fn(x)=n2(1−x)n , x∊<0;1> fn−>0 dla każdego przypadku z przedziału <0;1> zatem szereg jest zbieżny puktowo jednak w notatkach z zajęć mam policzoną pochodną, wyliczone ekstrema i następnie liczę granicę na ekstremum maksymalnym, która wyszła nieskończoność. Tutaj moje notatki się kończą. Nie wiem dlaczego. Czy to oznacza, że szereg jest zbieżny jednostajnie?
2 paź 12:17
Ambroży z fabryki noży: po pierwsze − napisałeś cytuję "fn−>0 dla każdego przypadku z przedziału <0;1>" a dla x=0 również? po drugie wejdź tu http://math.uni.lodz.pl/~kfairr/analiza/rozdzial8.pdf i znajdź własność 8.2.8 przeczytaj powoli kilka razy może zrozumiesz
2 paź 16:04
jc: Pytasz o szereg, a dalej piszesz ciąg. Sprawdź treść zadania.
2 paź 17:03
Marcel: tak oczywiście się machnąłem przy przepisywaniu, zbyt dużo na jeden raz oczywiście chodzi o ciąg. W dodatku wyrażony wzorem fn(x)=n2x(1−x)n , x∊<0;1> zgubiłem gdzieś X−a. i właśnie tej własności mi było trzeba. Kłaniam się do stóp!
2 paź 20:23
Marcel: weźmy jeszcze przykład ciągu fn(x)=nx; x∊R+ fn→1 dla x∊R+ jeśli teraz wezmę powyższą własność − 8.2.8 istnieje m ∈ N, że Mn ∈ R dla n > m oraz lim n→ Mn = 0. wyjdzie mi, że lim n−>inf |nx−1| = 0 zatem drugi warunek spełniony pierwszy warunek też wydaje się spełniony. Zatem ciąg jest zbieżny jednostajnie. Tymczasem wiem, że nie jest. Jeśli jednak wezmę z definicji |nx−1|<Epsilon to już to ma większy sens, bo de facto to równanie nigdy nie będzie równe 0, zawsze będzie można znaleźć jakiś epsilon większy od 0
4 paź 12:08
jc: 1 − fn(1/2n) = 1/2 > 1/3, dlatego fn nie jest jednostajnie zbieżny do 1. Jednak na każdym przedziale [a,), gdzie a>0, fn jest jednostajnie zbieżny do 1.
4 paź 12:14
jc: Oj, też nie jest fn(2n) = 2 Na każdym przedziale [a,b], 0<a<b<, jest
4 paź 12:16
Marcel: skąd wzięło się podstawienie jakiejś liczby do potęgi n?
4 paź 12:22
jc: fn(x)=n2x(1−x)n
 1 n2 1 n2 n n2 
fn(

) =

(1−

)n

(1−

) =

,
 n+1 n+1 n+1 n+1 n+1 (n+1)2 
a więc fn nie jest jednostajnie zbieżny do 0, a punktowo jest.
4 paź 12:27
Marcel: aaa o ten przykład chodzi, ja rozważałem ten drugi, który podałem nx, bo teraz ten przykład nie daje mi spokoju
4 paź 12:28
jc: Dla każdego epsilon >0 znajdziemy n0 takie, że dla każdego x i dla każdego n > n0 jesteśmy bliżej niż epsilon zaprzeczenie istnieje epsilon >0 takie, że dla każdego n0 znajdziemy n≥n0 i x, dla których jesteśmy dalej niż epsilon u mnie n0=n, x=2n (lub 1/2n). BYle jak napisane, ale wŁAŚNIE WYCHODZĘ
4 paź 12:31
Marcel: czy ktoś może mi to sprawdzić? fn(x)=(x−1x)1n, x∊R+ czyli pierwiastek n−tego stopnia, zapisałem tak, by było to bardziej czytelne. fn→1 supremum{|(x−1x)1n−1|}<epsilon
 (1/x2+1)nx−1/x 
liczę zatem pochodną. Otrzymuję

 n(x−1/x) 
szukam ekstremum, czyli przyrównuję pochodną do 0. Kłopot w tym, że nie mogę tego zrobić, bo dla x=1 zachodzi dzielenie przez 0.
 (1/x2+1)nx−1/x 
Zatem liczę granicę lim n−> |

− 1| = 1
 n(x−1/x) 
nie chce być inaczej. Dlatego szereg nie jest zbieżny jednostajnie. Według odpowiedzi od prowadzącego jest.
6 paź 22:16