Zbieżność jednostajna szeregu Alicja: Zbadaj zbieżność jednostajną szeregu 1+x2n+1 dla x∊<0;23> zrobiłam to tak lim n−>inf [1+ 02n+1] = 1 dla x=0 lim n−>inf [1+ 1/22n+1] = 1 dla x=1/2 lim n−>inf [1+ 2/32n+1] = 1 dla x=2/3 funkcja graniczna jest ciągła, więc szereg jest zbieżny. Jednak mimo to zadanie nie zostało mi uznane. Co tutaj zrobiłam nie tak?
10 wrz 14:14
jc: O jakim szeregu piszesz?
10 wrz 14:20
Alicja: Funkcyjnym
10 wrz 18:41
jc: Nie napisałaś nigdzie sumy, stąd pytanie.
10 wrz 18:59
Adamm: To że ciąg jest zbieżny, a funkcja graniczna jest ciągła, nie oznacza niestety, że zbieżność jest jednostajna. Należy tutaj wyliczyć limsupn→ supx∊[0, 2/3] |1+x2n+1−1|
10 wrz 20:24
Alicja: a mogłabym prosić o rozpisanie tego? Na zajęciach robiliśmy to jakoś graficznie rysując na wykresie i nie za bardzo to zrozumiałam.
11 wrz 11:14
Alicja: I czyli można powiedzieć że ciągłość funkcji granicznej jest warunkiem koniecznym, ale nie dostatecznym?
11 wrz 11:20
Adamm: Graficznie to pewnie było tłumaczenie intuicji związanej ze zbieżnością jednostajną. Intuicji to słowo kluczowe. d(f, g) := supx∊X |f(x)−g(x)|, tak definiujemy odległość między dwoma funkcjami W przypadku zwykłej zbieżności, takiej odległości byśmy nie zdefiniowali (to niemożliwe) ale w przypadku zbieżności jednostajnej, taka możliwość już jest to że fn zbiega do f jednostajnie, znaczy dokładnie to samo co, d(fn, f) dąży do zera Napisałem lim sup, może trochę się zagalopowałem, ale o co mi chodziło? Właśnie o tą zbieżność do zera. Tu, fn(x) = 1+x2n+1 oraz f(x) = 1, X = [0, 2/3] supx∊X |fn(x)−f(x)| = ... łatwo obliczyć Popatrz się na ten ciąg, czy on zbiega do zera?
11 wrz 11:31
Adamm: Nie, ciągłość funkcji granicznej nie jest warunkiem koniecznym zbieżności jednostajnej. Twierdzenie jest takie, jeśli fn dąży do f jednostajnie, a fn są ciągłe, to f jest ciągłe. Ciągłość funkcji granicznej jest warunkiem koniecznym zbieżności jednostajnej, ale wtedy, kiedy sam ciąg składa się z funkcji ciągłych.
11 wrz 11:33
ICSP: Czy przypadkiem ciąg funkcyjny zbieżny punktowo do funkcji ciągłej na zbiorze zwartym nie będzie zbieżny jednostajnie wtedy gdy jest monotoniczny?
11 wrz 12:26
11 wrz 13:12
11 wrz 13:13
Adamm: elementy ciągu muszą być ciągłe*
11 wrz 13:14