Rozwiąż równanie różniczkowe Glina: Rozwiąż równanie różniczkowe: y"−4y=4x+6
6 wrz 20:49
Mariusz: Sposobów jest kilka Równanie charakterystyczne dla równania liniowego jednorodnego i przewidywanie dla części niejednorodnej Równanie charakterystyczne dla równania liniowego jednorodnego i uzmiennianie stałych dla części niejednorodnej Metoda operatorowa, użycie przekształcenia Laplace Przekształcenie równania różniczkowego liniowego w równoważny układ równań różniczkowych i rozwiązanie tego układu Rozwiązanie z użyciem szeregów potęgowych np metoda Frobeniusa Równanie różniczkowe liniowe jednorodne można też rozwiązać sprowadzając równanie różniczkowe do pierwszego rzędu y'' − 4y = 0 u(y)=y' u'(y)y'=y'' u'u = y'' 2y'' − 8y = 0 2uu'− 8y = 0 2udu=8ydy u2=4y2+C y'=±4y2+C
dy 

=4y2+C
dx 
dy 

=dx
4y2+C 
4y2+C=t − 2y 4y2+C=t2−4ty+4y2 C=t2−4ty 4ty=t2−C
 t2−C 
y=

 4t 
 t2−C 4t2−2t2+2C 
t−

=

 4t 4t 
 t2+C 
4y2+C=

 2t 
 2t*4t−4(t2−C) 
dy=

dt
 16t2 
 t2+C 
dy=

dt
 4t2 
 2tt2+C 1 dt 


dt=


 t2+C4t2 2 t 
 dy 1 

=

ln|2y+4y2+C1|
 4y2+C1 2 
1 

ln|2y+4y2+C1|=x+C2
2 
ln|2y+4y2+C1|=2x+C2 2y+4y2+C1=C2e2x
 (2y+4y2+C1)(2y−4y2+C1) 
2y+4y2+C1=

 (2y−4y2+C1) 
 4y2−4y2−C1 
2y+4y2+C1=

 2y−4y2+C1 
 −C1 
2y+4y2+C1=

 2y−4y2+C1 
1 1 

=−

(2y−4y2+C1)
2y+4y2+C1 C1 
−C1 

=(2y−4y2+C1)
2y+4y2+C1 
2y+4y2+C1=C2e2x
 −C1 
2y−4y2+C1=

 C2e2x 
2y+4y2+C1=C2e2x
 −C1 
2y−4y2+C1=

e−2x
 C2 
 C1 
4y=C2e2x

e−2x
 C2 
 1 1C1 
y=

C2e2x


e−2x
 4 4C2 
 1 
K2=

C2
 4 
 1C1 
K1=−


 4C2 
zatem y(x)= K1e−2x+K2e2x y(x)=K1(x)e−2x+K2(x)e2x y'=K1'(x)e−2x−2K1(x)e−2x+K2'(x)e2x+2K2(x)e2x y'=e−2x(K1'(x)−2K1(x))+e2x(K2'(x)+2K2(x)) y''=−2e−2x(K1'(x)−2K1(x))+e−2x(K1''(x)−2K1'(x))+ 2e2x(K2'(x)+2K2(x))+e2x(K2''(x)+2K2'(x)) y''=e−2x(−2K1'(x)+4K1(x)+K1''(x)−2K1'(x))+ e2x(2K2'(x)+4K2(x)+K2''(x)+2K2'(x)) y''=e−2x(K1''(x)−4K1'(x)+4K1(x))+e2x(K2''(x)+4K2'(x)+4K2(x)) y''−4y=e−2x(K1''(x)−4K1'(x)+4K1(x)−4K1(x))+ e2x(K2''(x)+4K2'(x)+4K2(x)−4K2(x))=4x+6 K1''(x)e−2x−4K1'(x)e−2x+K2''(x)e2x+4K2'(x)e2x=4x+6 Niech K1'(x)e−2x+K2'(x)e2x=0 (K1'(x)e−2x+K2'(x)e2x)' K1''(x)e−2x−2K1'(x)e−2x+K2''(x)e−2x+2K2'(x)e2x e−2x(K1''(x)−2K1'(x))+e2x(K2''(x)+2K2'(x)) K1''(x)e−2x − 2K1'(x)e−2x − 2K1'e−2x + K2''(x)e2x+2K2'(x)e2x+2K2'(x)e2x=4x+6 K1'(x)e−2x+K2'(x)e2x=0 −2K1'(x)e−2x+2K2'(x)e2x=4x+6 K1'(x)e−2x=−K2'(x)e2x −2(−K2'(x)e2x)+2K2'(x)e2x=4x+6 4K2'(x)e2x=4x+6
 1 
K2'(x)=

(2x+3)e−2x
 2 
 1 
K1'(x)=−

(2x+3)e2x
 2 
 1 1 
K1(x)=−

(2x+3)e2x+

∫e2xdx
 4 2 
 1 1 
K1(x)=−

(2x+3)e2x+

e2x
 4 4 
 1 
K1(x)=−

(2x+2)e2x
 4 
 1 
K1(x)=−

(x+1)e2x
 2 
 1 1 
K2(x)=−

(2x+3)e−2x+

∫e−2xdx
 4 2 
 1 1 
K2(x)=−

(2x+3)e−2x

e−2x
 4 4 
 1 
K2(x)=−

(2x+4)e−2x
 4 
 1 
K2(x)=−

(x+2)e−2x
 2 
y(x)=K1(x)e−2x+K2(x)e2x Całka szczególna równania niejednorodnego
 1 1 
y(x)=−

(x+1)e2xe−2x

(x+2)e−2xe2x
 2 2 
 1 
y(x)=−

(2x+3)
 2 
Całka ogólna równania jednorodnego y(x)= K1e−2x+K2e2x Całka ogólna równania niejednorodnego (suma całki ogólnej równania jednorodnego i całki szczególnej równania niejednorodnego)
 1 
y(x)= K1e−2x+K2e2x

(2x+3)
 2 
6 wrz 23:35
Glina: O ezu dziekuje
6 wrz 23:52
V: na drugi raz pomyśl zanim zadasz pytanie
7 wrz 14:58