Zadanie WhiskeyTaster: Zadanie: Sprawdź, że jeśli v jest wektorem własnym A dla wartości własnej λ, a P jest macierzą odwracalną, to Pv jest wektorem własnym PAP−1 dla wartości własnej λ. Wywnioskuj stąd, że wymiary przestrzeni własnych macierzy A i PAP−1 są jednakowe. No więc skoro P jest odwracalne, to detP ≠ 0 i PP−1 = I. PAP−1Pv = λv, ale wiemy, że Av = λv, więc PAv = λv, czyli Pλv = λv. Z czego otrzymujemy λ(P − I)v = 0. Więc albo P = I, albo λ = 0, przy czym v na pewno nie jest zerowy, bo inaczej nie byłby wektorem własnym dla λ. Tylko jak na tej podstawie wnioskować, że wymiary przestrzeni własnych macierzy są takie same? Jeśli P = I, to A = PAP−1. Wówczas skoro macierze są równe, to mają te same wartości własne, a ich przestrzenie są sobie równe. Jeśli λ = 0, to Av = 0. Wiemy więc, że kerF jest nietrywialne, czyli dimkerF ≥ 1. I to tyle, co mogę wywnioskować.
11 sie 16:49
Adamm: Pv ≠ 0 bo P jest odwracalna PAP−1Pv = PAv = λPv ⇒ Pv jest wektorem własnym PAP−1 z wartością własną λ Skoro P jest odwracalna to zachowuje niezależność. Jeśli λ − wartość własna A o niezależnych wektorach własnych v1, ..., vk, to też wartość własna PAP−1 o niezależnych wektorach własnych Pv1, ..., Pvk i na odwrót. Wniosek, przestrzeń własna odpowiadająca wartości własnej λ ma taki sam wymiar w przypadku obu macierzy
11 sie 17:01
WhiskeyTaster: Okej, teraz rozumiem o co chodziło i co przeoczyłem. Dziękuję, Adamm.
11 sie 17:23