Zadanie WhiskeyTaster: Mam takie dwa zadania, przy czym z jednym ma problem: (1) Napisz macierz przekształcenia liniowego F: R3[x] → R3[x] takiego, że F(x2 + x) = 2x2 + 2x, F(x − 1) = 1 − x, F(x2 − 1) = 3x2 − 3 w (a) bazie B złożonej z wektorów własnych przekształcenia (b) w bazie C = (1, x, x2). (2) Napisz macierz przekształcenia liniowego F: R3[x] → R3[x], dla którego kerF = Lin{x2 + x + 1, 2x2 − x − 1} w (a) dowolnej bazie B (b) w bazie C = (1, x, x2). O ile z pierwszym zadaniem nie mam problemu i jest banalne, o tyle w drugim już gorzej. Skoro (x2 + x + 1) ∊ kerF oraz (2x2 − x − 1) ∊ kerF, to znaczy, że F(x2 + x + 1) = 0 oraz F(2x2 − x − 1) = 0. I teraz chciałbym zrobić tak, by było podobnie jak w podpunkcie (a) w zadaniu (1), ale mam pewne wątpliwości. kerF to zbiór takich wektorów v, że F(v) = 0. Zapisując inaczej F(v) = Av, gdzie A to jakaś macierz przekształcenia liniowego. Wiemy, że wektor jest wektorem własnym dla pewnej λ, gdy Av = λv. No więc czy dobrze rozumiem, że skoro kerF jest tworzony przez dwa różne, niezerowe wektory, to wartością własną może być 0?
11 sie 01:25
WhiskeyTaster: Hmm, po zastanowieniu, to chyba jednak nie będzie 0. Inaczej 0 zawsze byłoby wartością własną dla każdej macierzy, gdzie kerF nie jest trywialne. Jakieś sugestie jak się za to zabrać inaczej?
11 sie 13:51
WhiskeyTaster: Oraz mała korekta. Na liście jest napisane F: R3[x] → R3[x], ale w podpunkcie (b) wymiar bazy C = 3, więc zapewne chodziło, by F: R2[x] → R2[x].
11 sie 14:15
WhiskeyTaster: No dobrze, trochę pomyślałem i proszę o sprawdzenie: (a) Niech B = (x2 + x + 1, 2x2 − x − 1, x) oraz F(x) = 1. Wtedy mBB(F) =
 2 
0 0

 3 
 1 
0 0 −

 3 
0 0 −1 (b) C = (1, x, x2) 3F(x2) = F(x2 + x + 1) + F(2x2 − x − 1) = 0 F(x2) = 0 −3F(x+1) = F(2x2 − x − 1) − 2F(x2 + x + 1) = 0 Więc −3F(x) = 3F(1) ⇒ F(1) = −1 mCC(F) = −1 1 0 0 0 0 0 0 0 Czy dobrze? Tego nie wiem, to jedyne, na co wpadłem.
11 sie 15:09
WhiskeyTaster: Sprawdziłem sobie, źle. Dla tej drugiej macierzy jądro wychodzi Lin{1, x}
11 sie 15:14