wielomiany jednej zmiennej MalWas: Czy mógłby ktoś sprawdzić poprawność poniższego rozwiązania? zadanie Czy istnieje wielomian f stopnia 4, dla którego f(0)=f(1)=f(2)=f(3)=f(4)=f(5)? rozwiązanie f(x)=ax4+bx3+cx2+dx+e f(0)=e f(1)=a+b+c+d f(2)=16a+8b+4c+2d+e f(3)=81a+27b+9c+3d+e f(4)=256a+64b+16c+4d+e f(5)=625a+125b+25c+5d+e Każdy z nich jest równy f(0)=e, zatem dostajemy układ: a+b+c+d=0 16a+8b+4c+2d=0 81a+27b+9c+3d=0 256a+64b+16c+4d=0 625a+125b+25c+5d=0 Wykorzystując pierwsze równanie w każdym kolejnym, mamy: 14a+6b+2c+2(a+b+c+d)=0 78a+24b+6c+3(a+b+c+d)=0 252a+60b+12c+4)a+b+c+d)=0 620a+120b+20c+5(a+b+c+d)=0 Stąd: 14a+6b+2c=0 78a+24b+6c=0 252a+60b+12c=0 620a+120b+20c=0 Dalej mamy: 7a+3b+c=0 13a+4b+c=0 21a+5b+c=0 31a+6b+c=0 Wykorzystując pierwsze równanie w każdym kolejnym, mamy: 5a+b+(7a+3b+c)=0 14a+2b+(7a+3b+c)=0 24a+3b+(7a+3b+c)=0 Ostatecznie otrzymujemy: b=−5a b=−7a b=−6a Sprzeczność, gdyż wielomian jest stopnia 4, czyli a≠0.
26 lip 13:34
MalWas: Ewentualnie II sposób: Jeśli wielomian jest stopnia 4 to jego pochodna jest wielomianem stopnia 3, co oznacza że maksymalnie dla trzech liczb może przyjmować wartość 0, stąd wyjściowy wielomian ma maksymalnie trzy ekstrema lokalne czyli trzy razy zmieni się jego monotoniczność stąd tą samą wartość może przyjąć maksymalnie w czterech punktach, co przeczy, że f(0)=f(1)=f(2)=f(3)=f(4)=f(5).
26 lip 13:37
Adamm: Z tw. Bezouta f(x) = g(x)x(x−1)(x−2)(x−3)(x−4)(x−5) dla pewnego wielomianu g(x) sprzeczność
26 lip 16:49
Mariusz: Gdybyś miał wartości w pięciu punktach to można by dość łatwo taki wielomian znaleźć Dla danych wartości w sześciu punktach łatwo znaleźć wielomian piątego stopnia
26 lip 20:11