Prawda/fałsz z uzasadnieniem Dejsza: Problem mam z rozumieniem tego typu zadań https://imgur.com/a/Ofx1Nd7
24 lip 17:49
wredulus_pospolitus: 1) skoro funkcja jest różniczkowalna w puncie 'a' to funkcja f(x) MUSI być ciągła w tymże punkcie 'a' (innymi słowy −−− ciągłość funkcji w przedziale (a,b) jest warunkiem KONIECZNYM na różniczkowalność funkcji na przedziale (a,b) ) f'(a) = 0 jest warunkiem koniecznym, ale NIE WYSTARCZAJĄCYM aby funkcja f(x) posiadała ekstremum w punkcie x = a Przykład: f(x) = x3 ... f'(x) = 2x2 .... jak widzisz f'(0) = 0, ale w tym punkcie (x=0) funkcja nie posiada ekstremum, tylko punkt przegięcia a trzecia odpowiedź jest w ogóle bez sensu emotka (czyli oczywiście: NIE)
24 lip 17:56
wredulus_pospolitus: 2) Wiemy, że jest różniczkowalna w x = 1 ; nie wiemy czy jest różniczkowalna w każdym innym punkcie czy też ciągła Patrz to co wcześniej napisałem (odnośnie ekstremum) Tak ... funkcja MOŻE (ale nie musi) mieć w x=1 ekstremum (patrz co wcześniej napisałem)
24 lip 17:58
wredulus_pospolitus: 3) Nie musi być malejąca NA CAŁYM przedziale (0 ; 1) −−− może na przykład najpierw trochę rosnąć i dopiero później zacząć maleć To w ogóle jest bez sensu −−− może nie mieć ani jednego rozwiązania to równanie ( f(x) = 4 ) Tak ... na mocy tw. Derboux wiemy, że ciągła funkcja f(x) przyjmuje każdą wartość z przedziału (−2 ; 2) ... więc także przyjmie wartość równą 0
24 lip 18:01
wredulus_pospolitus: 4) spróbuj samodzielnie (jest podobne do (3) )
24 lip 18:01
wredulus_pospolitus: 5) f(x) = e|x| rozpatrujemy sytuację dla x<0 ... wtedy możemy zapisać: f(x) = e|x| = ex więc f'(x) = e−x = e|x|
24 lip 18:03
wredulus_pospolitus: spójrz na wykres g(x) = ex spójrz na wykres h(x) = e−x Twoja funkcja f(x) = e|x| będzie 'częściowo' miała postać jednej z funkcji (dla x≥0) a częściowo drugiej (dla x<0) Czy któraś z tych funkcji przyjmuje chociażby wartość równą −1? W takim razie czy funkcja f(x) ma nieograniczony zbiór wartości (czyli jest nieograniczona)
π 3.14 0.14 


= 1 +

> 1
3 3 3 
i teraz spójrz na wykresy g(x) i h(x) i zastanów się nad odpowiedzią
24 lip 18:06
wredulus_pospolitus: 6) spróbuj samodzielnie
24 lip 18:06
wredulus_pospolitus: rysunek 7) najlepiej NARYSUJ wykres tej funkcji A zauważysz łatwo czy jest to surjekcja z R na R Czy są punkty nieciągłości I czy f(x) = a ma dwa rozwiązania dla a<0
24 lip 18:09
wredulus_pospolitus: 8) spróbuj samodzielnie (też zacznij od narysowania tejże funkcji)
24 lip 18:10
Dejsza: Tylko jak mam rozumieć surjekcję? W wykładach mam napisane jedynie to: Funkcja f: X→Y jest surjekcją wtedy i tylko wtedy, gdy f(X)=Y, czyli gdy przeciwdziedzina funkcji f jest jej zbiorem wartości. Nie wiem, jak mam to czytać z wykresu.
24 lip 18:12
wredulus_pospolitus: surjekcja 'na chłopski rozum' jest wtedy gdy: funkcja przyjmuje KAŻDĄ wartość ze zbioru Y przynajmniej raz czyli: f: R −> [0;+) ; f(x) = x2 JEST surjekcją f: R −> R ; f(x) = x2 NIE JEST surjekcją (bo funkcja nie przyjmuje wartości chociażby −1)
24 lip 18:15
Dejsza: A co w przypadku, jak mamy taką sytuację jak na 7?
24 lip 18:17
Dejsza: Jest surjekcją tylko dla x+1 z wyłączeniem x∊(−1;0)?
24 lip 18:18
wredulus_pospolitus: W (7) funkcja f(x) to to czerwona i niebieska krzywa (szara już nie) W takim razie łatwo zauważyć 'przerwę' na przedziale y ∊ (0;1) ... innymi słowy ... f(x) =
 1 

(na przykład) NIE MA rozwiązań
 2 
związku z tym ...
24 lip 18:20
Dejsza: Ah, więc o takie coś chodzi. Po prostu patrzysz na wartości na y, czy nie ma jakichś przerw.
24 lip 18:26
wredulus_pospolitus: nie tyle czy nie ma 'jakiś przerw' co czy przeciwdziedzina funkcji zawiera cały zbiór Y (dany w zadaniu) W tym konkretnym zadaniu zbiór Y = R ... dlatego szukasz (jakiejkolwiek) przerwy " na y'rekach "
24 lip 18:28
Dejsza: Zadanie 7. Wyjaśnisz mi, jak się sprawdzało punkty nieciągłości?
29 lip 12:32
Jerzy: Funkcja jest ciagła w punkcie, gdy: 1) Posiada wartość w tym punkcie 2) Posiada granicę w tym punkcie 3) Granica jest równa wartości funkcji
29 lip 12:36
Dejsza: A jak jest w przypadku funkcji z zadania 7? Żebym miała podgląd na to, jak rozwiązać?
29 lip 12:54
Jerzy: Które punkty twoim zdaniem są podejrzane ? Czy funkcja posiada wartość w tych punktach ?
29 lip 12:59
Dejsza: Moim zdaniem punkt x = 0 jest podejrzany. Dla ln(−x) nie znamy wartości, zaś dla x+1 mamy wartość.
29 lip 13:01
Jerzy: Funkcja nie jest ciągła w punkcie x = 0 , bo nie posiada granicy w tym punkcie. Granica lewostronna to − , a granica prawostronna to 1. W punkcie x = − 1 funkcja jest ciagła.
29 lip 13:04
Dejsza: Teoretycznie posiada granicę, ale tylko jednostronną.
29 lip 13:07
Jerzy: Co to znaczy "teoretycznie posiada granicę" ?
29 lip 13:08
Adamm: Czyli granicy nie posiada
29 lip 13:09
Jerzy: Funkcja posiada granicę w punkcie, gdy lewostronna jest równa prawostronnej. Ta funkcja posiada granicę w punkcie x = −1 , ale nie posiada granicy w punkcie x = 0
29 lip 13:10
Dejsza: Miałabym też pytanie odnośnie: Każda funkcja, która jest ograniczona, jest też ciągła − raczej to jest prawda na mocy Weierstrassa, tak?
29 lip 13:10
Dejsza: Rozumiem, czyli sprawdzać z obu stron granicę.
29 lip 13:11
Adamm: Funkcja ciągła na odcinku domkniętym jest ograniczona. Funkcja ograniczona jest ciągła? No nie. Wystarczy prosty przykład f(x) = 0 dla x≠0, f(0) = 1
29 lip 13:13
Adamm: Ogólnie, funkcja ciągła f:X→R (dla pewności X − przestrzeń Hausdorffa ) jest ograniczona jeśli X jest zwarty.
29 lip 13:14
Dejsza: O przestrzeni Hausdorffa nie miałam.
29 lip 13:27
Adamm: Spokojnie. Nie musisz wiedzieć. Pewnie nie będziesz.
29 lip 13:30
Dejsza: W sumie samo twierdzenie Weierstrassa starczy, bo tam jest o zbiorze domkniętym i ograniczonym.
29 lip 13:34