Macierze WhiskeyTaster:
 
nawias
A 0
nawias
nawias
0 B
nawias
 
nawias
C 0
nawias
nawias
0 D
nawias
 
Proszę o pomoc z zadaniem. Sprawdź, że dla macierzy
i
, gdzie A, C ∊
   
 
nawias
A 0
nawias
nawias
0 B
nawias
nawias
C 0
nawias
nawias
0 D
nawias
 
nawias
AC 0
nawias
nawias
0 BD
nawias
 
Mmxm oraz B ,D ∊ Mnxn zachodzi
=
. Użyj tego faktu
   
 
nawias
A 0
nawias
nawias
0 B
nawias
 
do znalezienia macierzy odwrotnej do
.
  
Aby mnożyć macierze X i Y, to ilość kolumn macierzy X musi odpowiadać ilości wierszy macierzy
 
nawias
A 0
nawias
nawias
0 B
nawias
 
Y. Macierz
ma w sumie m+n kolumn oraz m+n wierszy. To samo dotyczy macierzy N{C
  
0}{0 D}, więc możemy przeprowadzić operację mnożenia. Stąd już nietrudno sobie wyobrazić, że
 
nawias
AC 0
nawias
nawias
0 BD
nawias
 
mnożąc kolejne wiersze i kolumny otrzymamy wynik
.
  
 
nawias
A 0
nawias
nawias
0 B
nawias
 
Musimy znaleźć teraz macierz odwrotną do
i wykorzystajmy do tego powyższą
  
zależność.
nawias
A 0
nawias
nawias
0 B
nawias
nawias
C 0
nawias
nawias
0 D
nawias
 
nawias
AC 0
nawias
nawias
0 BD
nawias
 
nawias
AC 0
nawias
nawias
0 BD
nawias
 
=
/ *z prawej strony
−1
   
nawias
A 0
nawias
nawias
0 B
nawias
nawias
C 0
nawias
nawias
0 D
nawias
nawias
AC 0
nawias
nawias
0 BD
nawias
 
−1 = I
 
 
nawias
A 0
nawias
nawias
0 B
nawias
 
nawias
C 0
nawias
nawias
0 D
nawias
nawias
AC 0
nawias
nawias
0 BD
nawias
 
Więc
−1 =
−1
   
nawias
AC 0
nawias
nawias
0 BD
nawias
 1
nawias
BD 0
nawias
nawias
0 AC
nawias
 
−1 =

, więc
 det(ACBD) 
nawias
A 0
nawias
nawias
0 B
nawias
 1
nawias
C 0
nawias
nawias
0 D
nawias
nawias
BD 0
nawias
nawias
0 AC
nawias
 
−1 =

 det(ACBD) 
I tutaj, o ile nie wcześniej, mam pewien problem. Otóż macierz C jet rozmiaru mxm, zaś macierz BD jest rozmiaru nxn. Stąd nie wiem, jak to wymnożyć. Czy może chodzi, by zostawić to tak, jak jest?
20 lip 00:18
Adamm:
nawias
A 0
nawias
nawias
0 B
nawias
 
nawias
A−1 0
nawias
nawias
0 B−1
nawias
 
−1 =
  
20 lip 00:23
Adamm: machać rękoma to zawsze można, ale porządnie udowodnić?
nawias
A 0
nawias
nawias
0 B
nawias
 
= (pi, j)1≤i, j≤n+m
 
nawias
C 0
nawias
nawias
0 D
nawias
 
= (qi, j)1≤i, j≤n+m
 
pi, j = ai, j dla 1≤i, j≤n bi, j dla n+1≤i, j≤n+m 0 w przeciwnym wypadku podobnie qi, j
nawias
A 0
nawias
nawias
0 B
nawias
nawias
C 0
nawias
nawias
0 D
nawias
 
= (ri, j)1≤i, j≤n+m
 
gdzie ri, j = ∑k=1n+m pi, kqk, j potrafisz dokończyć?
20 lip 00:29
Adamm: ai, j oraz bi, j to oznaczenia na wyrazy macierzy A i B
20 lip 00:34
WhiskeyTaster: Hm, zanim spróbuję, dwa pytania do tego, co zostało przez Ciebie napisane. Pierwsze: Czy mógłbym prosić o szybko dowód tego równania z 00:23? Drugie: Czy pi, j nie powinno być ai, j dla j ≥ 1 i j ≤ m? Macierz A jest rozmiaru mxm, więc gdyby wziąć m < n, to trafimy w wyraz zerowy.
20 lip 02:04
WhiskeyTaster: Dobra, co do pierwszego pytania, to głupie − w końcu to właśnie mam udowodnić...
20 lip 02:08
Adamm: m i n są u mnie odwrotnie
20 lip 02:22
Adamm:
nawias
A 0
nawias
nawias
0 B
nawias
 A−1 0 AA−1 0 
*

=

= I
 0 B−1 0 BB−1 
20 lip 02:29
WhiskeyTaster: Dobrze, stwierdziłem, że to zadanie zostawię na koniec, więc teraz do niego wracam. Oznaczenia: i − numer wiersza, j − numer kolumny
nawias
A 0
nawias
nawias
0 B
nawias
 
= (pi,j) gdzie 1 ≤ i, j ≤ m+n
 
nawias
C 0
nawias
nawias
0 D
nawias
 
= qi,j) gdzie 1 ≤ i, j ≤ m+n
 
pi,j = ai,j dla i ∊ [1, m] ⋀ j ∊ [m, n] bi,j dla i ∊ [m+1, m+n] ⋀ j ∊ [m+1, m+n] 0 dla pozostałych przypadków. Analogicznie oznaczamy qi,j.
 
nawias
A 0
nawias
nawias
0 B
nawias
nawias
C 0
nawias
nawias
0 D
nawias
 
Stąd
= (ri,j) gdzie 1 ≤ i, j ≤ m+n.
  
ri,j = ∑k=1m+n pi,kqk,j. Stąd otrzymujemy, że: ri,j = ∑k=1m ai,kck,j dla i ∊ [1, m] ⋀ j ∊ [m, n] ∑k = m+1m+n bi,kdk,j dla i ∊ [m+1, m+n] ⋀ j ∊ [m+1, m+n] 0 w pozostałych przypadkach. Ale wiemy również, że AC = ∑k=1m ai,kck,j dla i ∊ [1, m] ⋀ j ∊ [m, n], więc:
nawias
A 0
nawias
nawias
0 B
nawias
nawias
C 0
nawias
nawias
0 D
nawias
 
nawias
AC 0
nawias
nawias
0 BD
nawias
 
=
  
I teraz moje pytanie: czy korzystając z tego, można od razu powiedzieć, że
nawias
A 0
nawias
nawias
0 B
nawias
 
nawias
A−1 0
nawias
nawias
0 B−1
nawias
 
−1 =
? Widzę, że jeśli tak jest, to dostaniemy w jednej
  
 
nawias
I 0
nawias
nawias
0 I
nawias
 
macierzy
, więc główna przekątna będzie składała się z samych jedynek, więc
  
otrzymamy macierz identycznościową, ale nie wiem, czy nie należy tego w jakiś sposób pokazać.
21 lip 14:41
Adamm: Poprawiam się. Potrzebujemy jeszcze następującego:
 
nawias
A 0
nawias
nawias
0 B
nawias
 
det
= det(A)det(B)
  
 
nawias
A 0
nawias
nawias
0 B
nawias
 
w ten sposób pokażemy że przy założeniu
jest odwracalne, A i B można odwrócić,
  
i rachunek 20 lip 2:29 ma sens.
21 lip 16:14
21 lip 16:17
WhiskeyTaster: Przeanalizuję dowód. Wiem, że coś takiego zachodzi, jednak nie było to dowodzone. Dziękuję za pomoc, Adamm.
22 lip 13:36