Dowód WhiskeyTaster: Proszę o pomoc z dowodem: Z twierdzenia Bezout'a wywnioskuj, że jeśli P ∊ R7[x] oraz P(1) = P(2) = ... = P(8) = 0, to P jest wielomianem zerowym. Dodatkowo, definiując odpowiednie przekształcenie liniowe F: R7[x] → R8 oraz korzystając z twierdzenia o indeksie wywnioskuj, że dla dowolnych liczb a1, a2, ..., a8 istnieje jedyny wielomian P stopnia ≤ 7, taki, że P(1) = a1, P(2) = a2, ..., P(8) = a8. Z tw. Bezout'a wiemy, że jeśli dla pewnego wielomianu istnieje a ∊ R, takie że P(a) = 0, to (x−a)|P(x). Korzystając z tego twierdzenia, możemy zapisać, że P(x) = Q(x)*(x−1)*...*(x−8). Przyjmijmy, że R(x) = (x−1)*...*(x−8). Wówczas, jako że chcemy, by oba wielomiany były równe, to ich stopnie również muszą się zgadzać. Jednak degP ≤ 7, zaś degR = 8. Wobec tego, aby równanie było prawdziwe, musi zajść Q(x) = P(x) = 0. Druga część: Zdefiniujmy przekształcenie liniowe F: R7[x] → R8, F(P) = [P(1), ..., P(8)]. Korzystając z twierdzenia o indeksie wiemy, że dimImF + dimkerF = dim(R7[x]). Dodatkowo widać, że [P(1), ..., P(8)] = P(1)[1, ..., 0] + ... + P(8)[0, ..., 1], tak więc dimImF = 8. Sumując te informacje otrzymujemy, że dimkerF = 0. I to jest moment, gdzie jestem w kropce. Skoro F(P) = [P(1), ..., P(8)] oraz P(1) = a1, ..., P(8) = a8, to [P(1), ..., P(8)] = [a1, ..., a8]. Załóżmy, że mamy wielomiany P(x), Q(x), takie że P(x) ≠ Q(x) oraz Q(1) = a1, ..., Q(8) = a8. Wówczas otrzymujemy, że [P(1), ..., P(8)] = [a1, ..., a8] = [Q(1), ..., Q(8)]. Czyli [P(1), ..., P(8)] = [Q(1), ..., Q(8)]. Ale czy to jest wystarczające do stwierdzenia, że P(x) = Q(x)?
17 lip 21:07
Adamm: z tw. Bezouta P(x) = Q(x)(x−1)...(x−8) Jeśli Q(x) byłby niezerowy, to P byłoby stopnia ≥8, a to niemożliwe więc Q(x) jest zerowy, a przy tym P(x) F − takie samo dim KerF = 0 co pokazaliśmy wcześniej stąd F jest różnowartościowe, a dim ImF = 8 z twierdzenia o indeksie, zatem ponieważ dim R8 = 8, to F musi być także 'na'
17 lip 21:28
WhiskeyTaster: No właśnie da się to pokazać jakoś inaczej niż korzystając z różnowartościowości oraz określenia "na"? Jeszcze nie doszedłem do etapu, gdy jest pokazane kiedy i dlaczego to działa, więc wolałbym tego uniknąć.
17 lip 21:50
Adamm: nie
18 lip 00:35
WhiskeyTaster: Okej. Dziękuję, Adamm.
18 lip 00:53