Dowód WhiskeyTaster: Proszę o sprawdzenie. Mam udowodnić, że jeśli v1, ..., vn są lz, a F: V → W jest przekształceniem liniowym, to F(v1), ..., F(vn) są lz. Dodatkowo mam odpowiedzieć, czy analogiczna zależność zachodzi dla lnz wektorów. Skoro v1, ..., vn są lz, to niech vi będzie kombinacją liniową pozostałych wektorów. Wówczas vi = α1v1 + ... + αi−1vi−1 + αi+1vi+1 + ... + αnvn. Wówczas korzystając z tego, że F jest przekształceniem liniowym, otrzymujemy F(vi) = F(α1v1 + ... + αi−1vi−1 + αi+1vi+1 + ... + αnvn) = F(α1v1) + ... + F(αi−1vi−1) + F(αi+1vi+1) + ... + F(αnvn) = α1F(v1) + ... + αi−1F(vi−1) + αi+1F(vi+1) + ... + αnF(vn) Sprawdźmy więc, czy wektory F(v1), ..., F(vn) są lz: α1'F(v1) + ... + α1F(v1) + ... + αi−1F(vi−1) + αi+1F(vi+1) + ... + αnF(vn) + ... + αn'F(vn) = 0 (α1' + α1)F(v1) + ... + (αi'−1 + αi−1)F(vi−1) + (αi'+1 + αi+1)F(vi+1) + ... + (αn' + αn)F(vn) = 0 Stąd otrzymujemy układ równań: α1' + α1 = 0 . . . αn' + αn = 0 Stąd otrzymujemy, że dla pewnego αj ≠ 0 (bo vi jest kombinacją liniową, więc musi istnieć takie αj) mamy αj' + α{j} = 0, więc αj' = −αj, co jest sprzeczne z założeniem liniowej niezależności, więc F(v1), ..., F(vn) są lz. A co do pytania: jeśli wektory są lnz, to ich przekształcenia również.
16 lip 00:01
Adamm: Prościej Niech v1, ..., vn są liniowo zależne. Istnieją stałe a1, ..., an, przy czym co najmniej jedna różna od zera, takie że a1v1+...+anvn = 0 skąd a1F(v1)+...+anF(vn) = F(a1v1+...+anvn) = F(0) = 0 więc F(v1), ..., F(vn) są liniowo zależne Co do drugiego pytania, liniowa niezależność v1, ..., vn nie pociąga za sobą liniowej niezależności F(v1), ..., F(vn) np. v1 = (1, 0), v2 = (0, 1) F(x, y) = x+y ale F(v1) = F(v2) − nie ma liniowej niezależności
16 lip 01:24
WhiskeyTaster: Rozumiem, faktycznie trochę prościej, trochę bardzo. Co do drugiego pytania, to zdecydowanie się pospieszyłem z odpowiedzą. Dziękuję, Adamm.
16 lip 10:43